Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE

Trang trước Trang sau

Bài 81 trang 92 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;

b) KI là tia phân giác của góc EKD.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE

a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.

Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên $\hat{A B D} = \hat{D B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ .

Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên $\hat{A C E} = \hat{E C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Suy ra $\hat{A B D} = \hat{D B C} = \hat{A C E} = \hat{E C B}$ .

• Xét ∆ABD và ∆ACE có:

$\hat{B A C}$ là góc chung,

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),

$\hat{A B D} = \hat{A C E}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).

• Xét ∆ABK và ∆ACK có:

AB = AC (chứng minh trên),

AK là cạnh chung,

BK = CK (do K là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).

Suy ra $\hat{B A K} = \hat{C A K}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{E A K} = \hat{D A K}$ .

• Xét ∆AEK và ∆ADK có:

AE = AD (chứng minh trên),

$\hat{E A K} = \hat{D A K}$ (chứng minh trên),

AK là cạnh chung.

Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)

Suy ra $\hat{A K E} = \hat{A K D}$ (hai góc tương ứng)

Nên KA là đường phân giác của góc EKD.

Mặt khác do $\hat{B A K} = \hat{C A K}$ nên AK là tia phân giác của góc BAC.

Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC

Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.

Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác