Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N

Trang trước Trang sau

Bài 78 trang 90 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.

a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân.

b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông.

d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Lời giải:

Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N

a) Xét ∆DME và ∆FMN có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\hat{D M E} = \hat{F M N}$ (hai góc đối đỉnh),

ME = MN (giả thiết)

Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)

Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).

Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.

Do đó DE = DF = FN.

Tam giác DFN có DF = FN nêntam giác DFN cân tại F.

Vậy tam giác DFN cân tại F.

b) Ta có MD = MF = $\frac{1}{2}$ DF và FA = FD nên MF = $\frac{1}{2}$ FA

Mà AF + FM = AM nên AF + $\frac{1}{2}$ AF = AM

Suy ra $\frac{3}{2}$ AF = AM hay AF = $\frac{2}{3}$ AM.

Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và AF = $\frac{2}{3}$ AM nên F là trọng tâm của tam giác NEA.

Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.

c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.

Suy ra tam giác FNA cân tại F.

Do đó $\hat{F A N} = \hat{F N A}$ (hai góc ở đáy)

•Vì tam giác DFN cân tại F nên $\hat{F D N} = \hat{F N D}$ (hai góc ở đáy)

• Xét ∆DNA có $\hat{A D N} + \hat{D N A} + \hat{N A D} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{F N D} + \hat{D N A} + \hat{F N A} = 180 °$

Hay $(\hat{F N D} + \hat{F N A}) + \hat{D N A} = \hat{D N A} + \hat{D N A} = 180 °$

Suy ra $2 \hat{D N A} = 180 °$

Do đó $\hat{D N A} = \frac{180 °}{2} = 90 °$

Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.

d) Xét ∆DMN và ∆FME có:

DM = FM (vì M là trung điểm của DF),

$\hat{D M N} = \hat{F M E}$ (hai góc đối đỉnh),

EM = MN (giả thiết)

Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)

Suy ra $\hat{M D N} = \hat{M F E}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên EF // DN

Lại có $\hat{D N A} = 90 °$ (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.

Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).

Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)

Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác