Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm

Trang trước Trang sau

Bài 77 trang 90 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.

a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.

b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.

c) Nếu CG = $\frac{1}{2}$ AE thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm

a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

DB = DC (do D là trung điểm của BC),

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)

Suy ra $\hat{A D B} = \hat{A D C}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{A D B} + \hat{A D C} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A D B} = \hat{A D C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$

Suy ra AD vuông góc với BC.

Mặt khác D là trung điểm của BC

Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra GB = GC (1)

Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.

Do đó EB = EC (2)

Xét ∆BGD và ∆BED có:

$\hat{B D G} = \hat{B D E} (= 90 °)$ ,

BG là cạnh chung,

DG = DE (giả thiết)

Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)

Suy ra BG = BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.

Vậy BG = GC = CE = BE.

b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BE = CE (chứng minh câu a),

AE là cạnh chung

Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).

Vậy ∆ABE = ∆ACE.

c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên GD = $\frac{1}{2}$ GE

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GD = $\frac{1}{2}$ AG.

Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên GE = $\frac{1}{2}$ AE.

Mặt khác CG = $\frac{1}{2}$ AE

Suy ra GE = GC.

Theo câu a ta lại có GC = EC.

Khi đó GC = GE = EC.

+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều

Do đó $\hat{C G E} = 60 °$

Suy ra:

• $\hat{C G D} + \hat{G C D} = 90 °$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)

Suy ra $\hat{G C D} = 90 ° - \hat{C G D} = 90 ° - 60 ° = 30 °$

• $\hat{C G E} + \hat{A G C} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A G C} = 180^{o} - \hat{C G E} = 180^{o} - 60^{o} = 120^{o}$

Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó $\hat{G A C} = \hat{G C A}$

Lại có $\hat{G A C} + \hat{G C A} + \hat{A G C} = 180 °$ (tổng ba góc của tam giác AGC).

Do đó $\hat{G A C} = \hat{G C A} = \frac{180 ° - \hat{A G C}}{2} = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$

+) Ta có $\hat{A C B} = \hat{A C G} + \hat{G C B}$ (hai góc kề nhau)

Hay $\hat{A C B} = 30 ° + 30 ° = 60 °$

Tam giác cân ABC có $\hat{A C B} = 60 °$ nên là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác