Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O

Trang trước Trang sau

Bài 7.4 trang 26 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB.

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: MN và SD; MO và SB.

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O

a) Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a và đáy ABCD là hình vuông nên

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a².

Mà SB²+ SD² = a² + a² = 2a². Do đó SB²+ SD² = BD² nên tam giác SBD vuông tại S.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SA, AB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, do đó MN // SB.

Khi đó (MN, SD) = (SB, SD) = 90°.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình vuông nên O là trung điểm AC, BD.

Xét tam giác SAC có M là trung điểm SA, O là trung điểm AC nên MO là đường trung bình, suy ra MO // SC.

Khi đó (MO, SB) = (SC, SB) = $\hat{B S C}$ = 60^o (do tam giác SBC là tam giác đều).

b) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC, N là trung điểm AB nên ON là đường trung bình, suy ra ON // BC.

Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = $\hat{S N O}$ .

Vì tam giác SAC có SA = SC = a nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao.

Vì BD² = 2a² và ABCD là hình vuông nên AC = BD = a $\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ AO = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOC vuông tại O, có:

SC²= SO² + OC² $\Leftrightarrow$ a² = SO² + ${(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} \Leftrightarrow$ SO = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì ON là đường trung bình của tam giác ABC nên ON = $\frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác đều SAB có SN là trung tuyến đồng thời là đường cao hay SN $⊥$ AB.

Xét tam giác vuông SNB vuông tại N, ta có:

SN²+ NB² = SB² $\Leftrightarrow$ SN² + ${(\frac{a}{2})}^{2}$ = a² $\Leftrightarrow$ SN² = $\frac{3 a^{2}}{4}$

Lại có SO²+ ON² = ${(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}$ + ${(\frac{a}{2})}^{2}$ = $\frac{3 a^{2}}{4}$ . Do đó tam giác SON vuông tại O.

Xét tam giác vuông SON vuông tại O có tan $\hat{S N O}$ = $\frac{S O}{O N}$ = $\sqrt{2}$ .

Vậy tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC là $\sqrt{2}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác