Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a

Trang trước Trang sau

Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết SA $⊥$ (ABCD) và SA = $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng:

a) (SBD) $⊥$ (SAC);

b) (SBC) $⊥$ (BDH);

c) (SBC) $⊥$ (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a

a) Ta có SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD mà BD $⊥$ AC (do ABCD là hình thoi).

Do đó BD $⊥$ (SAC) mà BD $\subset$ (SBD) nên (SBD) $⊥$ (SAC).

b) Vì BD $⊥$ (SAC) nên BD $⊥$ SC, mà SC $⊥$ OH nên SC $⊥$ (BDH).

Vì SC $\subset$ (SBC) nên (SBC) $⊥$ (BDH).

c) Ta có tam giác ABD có AB = AD = a và $\hat{B A D}$ = 60^o nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của $\hat{B A D}$ mà $\hat{B A D}$ = 60^o nên $\hat{D A O}$ = 30^o.

Xét tam giác ADO vuông tại O, có AO = AD . cos30° = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Do đó AC = a $\sqrt{3}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, có SC = $\sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{\frac{6 a^{2}}{4} + 3 a^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$ .

Vì $∆$ CHO đồng dạng $∆$ CAS (g.g) nên $\frac{H O}{A S} = \frac{C O}{C S} \Rightarrow \frac{C O . A S}{C S} = \frac{a}{2} = \frac{B D}{2}$ .

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\hat{B H D}$ = 90^o.

Mà BH $⊥$ SC, DH $⊥$ SC (do SC $⊥$ (BDH)) và (SBC) ∩ (SCD) = SC,

BH ⊂ (SBC), DH ⊂ (SCD).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng BH và DH. Mà (DH, BH) = $\hat{B H D}$ = 90^o.

Vậy (SBC) $⊥$ (SCD).

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác