Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hồi trang 34 SBT Toán 11

Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi

u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + (n + 1).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Chứng minh rằng u_{n + 1} + u_n = (n + 1)², tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải:

a) Bảy số tam giác đầu là u₁ = 1; u₂ = u₁ + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;

u₃ = u₂ + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u₄ = u₃ + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;

u₅ = u₄ + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u₆ = u₅ + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;

u₇ = u₆ + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u₁ = 1, u₂ = 1 + 2, u₃ = 1 + 2 + 3, u₄ = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

$= \frac{n (n + 1)}{2} + (n + 1) = \frac{n (n + 1) + 2 (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

Vậy $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ .

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n + 1} + u_{n} = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{(n + 1) ((n + 2) + n)}{2}$ $= \frac{(n + 1) .2 (n + 1)}{2} = {(n + 1)}^{2}$ .

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 5: Dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác