Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Trang trước Trang sau

Bài 6.31 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{2 x^{2} + x + 1} = \sqrt{x^{2} + m x + m - 1}$ .

Lời giải:

$\sqrt{2 x^{2} + x + 1} = \sqrt{x^{2} + m x + m - 1}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x² + x + 1 = x² + mx + m – 1

⇔ x² + (1 – m)x + 2 – m = 0 (2)

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² + x + 1 có: a = 2 > 0, ∆_f = 1² – 4.2.1 = –7 < 0

Do đó, f(x) = 2x² + x + 1 > 0 với mọi số thực x nên x² + mx + m – 1 > 0 với mọi số thực x, do đó, $\sqrt{2 x^{2} + x + 1}$ , $\sqrt{x^{2} + m x + m - 1}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x.

Do đó, (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm.

Xét phương trình bậc hai (2) ta có:

∆ = (1 – m)² – 4.1.(2 – m) = 1 – 2m + m² – 8 + 4m = m² + 2m – 7

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ chi ∆ ≥ 0

⇔ m² + 2m – 7 ≥ 0

Xét phương trình bậc hai ẩn m là: m² + 2m – 7 = 0 có:

a = 1 > 0

∆_m = 2² – 4.1.(–7) = 32 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $m_{1} = - 1 + 2 \sqrt{2}; m_{2} = - 1 - 2 \sqrt{2}$

Do đó, m² + 2m – 7 ≥ 0 ⟺ Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm

Vậy khi $m \geq - 1 + 2 \sqrt{2}$ hoặc $m \leq - 1 - 2 \sqrt{2}$ thì phương trình $\sqrt{2 x^{2} + x + 1} = \sqrt{x^{2} + m x + m - 1}$ có nghiệm.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác