Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc

Bài 3.14 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.

Chứng minh rằng:

a) a² + b² = 5c²;

b) cotC= 2 (cot A + cot B).

Lời giải:

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $A G = \frac{2}{3} A M$ và $B G = \frac{2}{3} B N .$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vuông tại G (do AM ⊥ BN) có:

c² = AB² = AG² + BG²

$= \frac{4}{9} . A M^{2} + \frac{4}{9} . B N^{2}$

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC.

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

$A M^{2} = m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ và $B N^{2} = m_{b}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} .$

Suy ra c² = $\frac{4}{9} . (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}) + \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4})$

$= \frac{4}{9} . (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4})$

$= \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + b^{2}}{4} + c^{2})$

$\Rightarrow$ c² $= \frac{4}{9} . (\frac{a^{2} + b^{2}}{4} + c^{2})$

$\Rightarrow$ 9c² = a² + b² + 4c²

$\Rightarrow$ 5c² = a² + b².

b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có:

$\cot C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$

Mà 5c² = a² + b² (chứng minh phần a))

Do đó $\cot C = \frac{5 c^{2} - c^{2}}{4 S} = \frac{4 c^{2}}{4 S} = \frac{c^{2}}{S}$ (1)

Mặt khác:

$\cot A + \cot B = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$

$\Rightarrow$ cotA + cotB $= \frac{2 c^{2}}{4 S} = \frac{c^{2}}{2 S}$

$\Rightarrow$ 2(cotA + cotB) $= \frac{c^{2}}{S}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) = $\frac{c^{2}}{S} .$

Vậy cotC = 2(cotA + cotB).

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác