Giải SBT Toán 10 trang 81 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 81 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 81.

Bài 9 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh CA lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:

A. 2S;

B. 3S;

C. 4S;

D. 6S.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Diện tích tam giác ABC ban đầu là: S = $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC

Diện tích tam giác ABC lúc sau là: S_s = $\frac{1}{2}$.2BC.3AC.sinC = 6. $\frac{1}{2}$. BC.AC.sinC = 6S.

Vậy đáp án đúng là D.

Bài 10 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho $\widehat{\text{xOy}}$ = 30°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

A. 1,5;

B. $\sqrt{3}$;

C. $2\sqrt{2}$;

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Theo định lí sin ta có:

$\frac{\text{AB}}{\sin \hat{\text{O}}}=\frac{\text{OB}}{\sin \hat{\text{A}}}=\frac{1}{\sin 30°}=2$

OB = 2sin$\hat{\text{A}}$.

Ta có –1 ≤ sin$\hat{\text{A}}$ ≤ 1 nên OB lớn nhất khi sin$\hat{\text{A}}$ = 1 ⟺ $\hat{\text{A}}$ = 90°.

Khi đó OB = 2.

Đáp án đúng là D.

Bài 1 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}{\text{+ c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$.

Lời giải:

Theo định lí côsin: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ $\frac{\text{cosA}}{\text{a}}$ = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{abc}}$.

Tương tự ta có:

$\frac{\text{cosB}}{\text{b}}$ = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$ và $\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$ = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{b}}^2-{\text{c}}^2}{2\text{abc}}$

Như vậy: $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}$ = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2a\text{bc}}$ + $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$ + $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{abc}}$

⇒ $\frac{\mathrm{cosA}}{\text{a}}+\frac{\text{cosB}}{\text{b}}+\frac{\text{cosC}}{\text{c}}=\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}{\text{+ c}}^{\text{2}}}{\text{2abc}}$. ( ĐPCM ).

Bài 2 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 24; b = 36; $\hat{\text{C}}$ = 52°. Tính cạnh c và hai góc $\hat{\text{A}}$, $\hat{\text{B}}$.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

c² = a² + b² – 2abcos$\hat{\text{C}}$

c² = 24² + 36² – 2.24.36.cos52°

c = $\sqrt{{24}^2+{36}^2–\mathrm{2.24.36.}\text{cos}52°}$

c ≈ 28,43.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$ = $\frac{28,43}{\sin 52°}$

⇒ sinA = a : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ = 24 : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ ≈ 0,665 ⇒ $\hat{\text{A}}$ ≈ 41°40’56’’.

⇒ sinB = b : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ = 36 : $\frac{28,43}{\sin 52°}$ ≈ 0,998 ⇒ $\hat{B}$ ≈ 86°22’32’’.

Vậy $\hat{\text{A}}$ ≈ 41°40’56’’ và $\hat{B}$ ≈ 86°22’32’’.

Bài 3 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 50 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc $\widehat{\text{BPA}}$ = 40° và $\widehat{\text{BQA}}$ = 52°. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat{\text{BPA}}$ = 40°, $\widehat{\text{BQA}}$ = 52°, $\widehat{\text{BAP}}$ = 90°, PQ = 50 m.

$\widehat{\text{BQP}}$ là góc kề bù với $\widehat{\text{BQA}}$ ⇒ $\widehat{\text{BQP}}$ = 180° – 52° = 128°

Xét tam giác PBQ: $\widehat{\text{PBQ}}\text{}$ + $\widehat{\text{BQP}}$ + $\widehat{\text{BPQ}}$= 180°

⇒ $\widehat{\text{PBQ}}\text{}$ = 180° – 128° – 40° = 12°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có:

$\frac{\text{PQ}}{\text{sinB}}\text{=}\frac{\text{BQ}}{\text{sinP}}$ = $\frac{50}{\sin 12°}$ ⇒ BQ = $\frac{50}{\sin 12°}$. sinP = $\frac{50}{\sin 12°}$.sin40° ≈ 154,58 m.

Xét tam giác ABQ vuông tại A: AB = BQ. sin52° = 154,58. sin52° ≈ 121,81 m.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 121,81 m.

Bài 4 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{\text{A}}$ = 99°, b = 6, c = 10. Tính:

a) Diện tích tam giác ABC;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$.b.c.sin$\hat{\text{A}}$= $\frac{1}{2}$.6.10.sin99° ≈ 29,63 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 29,63 đvdt.

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA

a² = 6² + 10² – 2.6.10.cos99°

a = $\sqrt{6^2+{10}^2–\mathrm{2.6.10.}\text{cos}99°}$

a ≈ 12,44.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=2\text{R}$

⇒ R = $\frac{\text{a}}{\text{2sinA}}$ = $\frac{12,44}{2.\sin 99°}$ ≈ 6,30.

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p = $\frac{a+b+c}{2}=\frac{12,44+6+10}{2}$ = 14,22.

Lại có: r = $\frac{\text{S}}{\text{p}}$ = $\frac{29,63}{14,22}$ ≈ 2,08.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,30 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2,08.

Bài 5 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo hướng lệch so với hướng bắc 15° về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45° về phía tây với vận tốc 600 km/h ( Hình 1). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: $\widehat{\text{AOB}}$ = 180° – 15° – 45° = 120°.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến A đi được quãng đường là: 800.3 = 2400 km.

Hay OA = 2 400.

Sau 3 giờ hai máy bay bay từ O đến B đi được quãng đường là: 600.3 = 1 800 km.

Hay OB = 1 800.

Sau 3 giờ, hai máy bay A, B và điểm xuất phát O tạo thành tam giác OAB với OA = 2400 và OB = 1800. Áp dụng định lí côsin cho tam giác OAB ta được:

AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos$\widehat{\text{AOB}}$

AB² = 2400² + 1800² – 2.1800.2400.cos120°

AB = $\sqrt{{2400}^2+{1800}^2–\mathrm{2.1800.2400.}\text{cos}120°}$

AB ≈ 3650 km

Vậy sau 3 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 3650 km.

Bài 6 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh rằng:

$\frac{\tan \text{A}}{\tan \text{B}}=\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$.

Lời giải:

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bcosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$

Theo định lí côsin ta có: $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}=\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=2\text{R}$

⇒ sinA = $\frac{\text{a}}{\text{2R}}$ và sinB = $\frac{\text{b}}{\text{2R}}$

Ta có:

$\frac{\text{tanA}}{\text{tanB}}\text{=}\frac{\text{sinA}}{\text{cosA}}\text{.}\frac{\text{cosB}}{\text{sinB}}$ = $\frac{\text{a}}{\text{2R}}$.$\frac{2\text{bc}}{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}$.$\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$.$\frac{\text{2R}}{\text{b}}$ = $\frac{{\text{c}}^2+{\text{a}}^2-{\text{b}}^2}{{\text{c}}^2+{\text{b}}^2-{\text{a}}^2}$ (ĐPCM).

Bài 7 trang 81 SBT Toán 10 Tập 1: Một tháp viễn thông cao 42 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34° so với phương ngang. Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33 m như Hình 2. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó.

Lời giải:

Ta biểu diễn lại hình như trên. AB là độ dài sợi dây cáp. AC là độ dài tháp. Như vậy AC = 42 m, BC = 33 m, $\widehat{\text{CMH}}$ = 34°, $\widehat{\text{MHC}}$ = 90°.

Xét tam giác MCH: $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{MHC}}+\widehat{\text{CMH}}$ = 180°.

⇒ $\widehat{\text{MCH}}$ = 180° – 90° – 34° = 56°.

$\widehat{\text{ACB}}$` và $\widehat{\text{MCH}}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{\text{ACB}}$ = 56° ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cos$\widehat{\text{ACB}}$

AB² = 42² + 33² – 2.42.33.cos56°

AB = $\sqrt{{42}^2+{33}^2–\mathrm{2.42.33.}\text{cos}56°}$

AB ≈ 36,1 m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng 36,1 m.

Lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 81 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

• SBT Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

• SBT Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---