Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 103 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 103.

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$, ta có: $\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}-\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}<\left(\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right)<\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}+\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}$.

Lời giải:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho $\overrightarrow{\text{OA}}$ = $\overrightarrow{\text{a}}$, $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{b}}$. Ta có $\overrightarrow{\text{OB}}$ = $\overrightarrow{\text{a}}$ + $\overrightarrow{\text{b}}$.

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$\left(\text{OA}-\text{AB}\right)$ ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra $\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}-\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}<\left(\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right)<\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}+\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}$.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$ và $\widehat{\text{DOC}}$ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)$ và $\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$ nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$ nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AA'}}$.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{BB'}}$.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên $\overrightarrow{\text{CA}}$ = $\overrightarrow{\text{CC'}}$.

Ta có: $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{AA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{BB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{CC'}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BC}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$;

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{AC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{AM}}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$ = 2AM

$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = BC

$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ ⇔2AM = BC.

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ ⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\overrightarrow{0}$

hay $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\overrightarrow{0}$.

Suy ra AB² – AC² = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$;

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ ABCD là hình bình hành.

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{DB}}$ – $\overrightarrow{\text{DA}}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{AB}}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ AB // CD.

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NB}}$ cùng phương, ngược chiều ⇒ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ = $\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho $\overrightarrow{\text{OM'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{OM}}$, $\overrightarrow{\text{ON'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{ON}}$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\text{M'N'}}$ = $\overrightarrow{\text{ON'}}$ – $\overrightarrow{\text{OM'}}$ = k$\overrightarrow{\text{ON}}$ – k$\overrightarrow{\text{OM}}$ = k ( $\overrightarrow{\text{ON}}$ – $\overrightarrow{\text{OM}}$ ) = k$\overrightarrow{\text{MN}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ $\overrightarrow{\text{OA}}$, $\overrightarrow{\text{OB}}$, $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ có độ dài bằng nhau và $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$. Tính các góc $\widehat{\text{AOB}}$, $\widehat{\text{BOC}}$, $\widehat{\text{COA}}$.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$ nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$ = $\widehat{\text{BOC}}$ = $\widehat{\text{COA}}$ = $\frac{360°}{3}$ = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có: $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

N là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{GN}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{GN}}$ = $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ ).

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}$) và $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GD}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$).

$\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ ) + $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}$) + $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GD}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$)

= $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$ ) + $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$) + $\frac{1}{2}$ ( $\overrightarrow{\text{GC}}$ + $\overrightarrow{\text{GD}}$ )

= $\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$.

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$) = $\overrightarrow{\text{GM}}$

và $\frac{1}{2}$ ( $\overrightarrow{\text{GC}}$ + $\overrightarrow{\text{GD}}$ ) = $\overrightarrow{\text{GN}}$ )

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 101 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 102 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

• SBT Toán 10 Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

• SBT Toán 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

• SBT Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 6

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---