Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai

Trang trước Trang sau

Bài 16 trang 9 SBT Toán 10 Tập 1: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó.

a) ∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2;

b) ∀x ∈ ℝ, x² > x;

c) ∃x ∈ ℝ, |x| > x;

d) ∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0.

Lời giải:

a) Gọi A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề A: “∀n ∈ ℕ, n(n + 1) chia hết cho 2” là $\bar{A}$ : “∃n ∈ ℕ, n(n + 1) không chia hết cho 2”.

+) Xét tính đúng sai:

Với n = 2k (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = 2k.(2k + 1) chia hết cho 2.

Với n = 2k + 1 (k ∈ ℕ) khi đó n.(n + 1) = (2k + 1).(2k + 2) = (2k + 1)(k + 1).2 chia hết cho 2.

Suy ra với mọi giá trị của n thì n(n + 1) chia hết cho 2. Do đó mệnh đề A đúng và $\bar{A}$ sai.

b) Gọi B: “∀x ∈ ℝ, x² > x”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề B: “∀x ∈ ℝ, x² > x” là $\bar{B}$ : “∃x ∈ ℝ, x² ≤ x”.

Xét x² > x

⇔ x² – x > 0

⇔ x(x – 1) > 0

⇔ $(\begin{matrix} (\begin{matrix} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x < 0 \\ x - 1 < 0 \end{matrix}) \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x > 1 \\ x < 0 \end{matrix})$

Suy ra không phải với mọi số thực x thì x² > x.

Do đó mệnh đề B sai, mệnh đề $\bar{B}$ đúng.

c) Gọi C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℝ, |x| > x” là mệnh đề $\bar{C}$ : “∀x ∈ ℝ, |x| ≤ x”.

Ta luôn có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của x. Do đó mệnh đề C là mệnh đề đúng, mệnh đề $\bar{C}$ là mệnh đề sai.

d) Gọi D: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0”

Mệnh đề phủ định của mệnh đề C: “∃x ∈ ℚ, x² – x – 1 = 0” là mệnh đề : “∀x ∈ ℚ, x² – x – 1 ≠ 0”.

Xét phương trình x² – x – 1 = 0

Có: ∆ = (-1)² – 4.1.(-1) = 1 + 4 = 5 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ và $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Mà $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \notin ℚ$

Do đó không tồn tại số hữu tỉ x nào để x² – x – 1 = 0.

Vì vậy mệnh đề C sai và mệnh đề $\bar{C}$ đúng.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Cánh diều khác