Giải bài 4 trang 18 sgk Hình học 12

Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12): Cho hình bát diện đều ABCDEF.

Chứng minh rằng:

a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Lời giải:

Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.

a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF

Trong mặt phẳng (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)

Suy ra BCDE là hình thoi

Suy ra BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.

Khi đó áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC

Do đó hình thoi BCDE là hình vuông.

Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.

Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Tham khảo lời giải các bài tập Toán 12 Bài 2 Chương 1 khác:

Các bài giải Toán 12 Hình học Tập 1 Chương 1 khác:

khoi-da-dien-loi-va-khoi-da-dien-deu.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác