Sách bài tập Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Trang trước Trang sau

Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x + 2y)2

b. (x – 3y)(x + 3y)

c. (5 – x)2

Lời giải:

a. (x + 2y)2 = x2 +2.x.2y + (2y)2

= x2 + 4xy + 4y2

b. (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c. (5 – x)2 = 52 – 2.5x + x2 = 25 – 10x + x2

Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x – 1)2

b. (3 – y)2

c. (x - 1/2 )2

Lời giải:

a. (x – 1)2 = x2 – 2.x.1 +12 = x2 –2x + 1

b. (3 – y)2 = 32 – 2.3.y + y2 = 9 – 6y + y2

c. (x - 1/2 )2 = x2 - 2.x.1/2 + (1/2)2 = x2 – x + 1/4

Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a. x2 + 6x + 9

b. x2 + x + 1/4

c.2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a. x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b. x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2 )2

c. 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a. (x + y)2 + (x – y)2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a. (x + y)2 + (x – y)2

      = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

      = 2x2 + 2y2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

      = (x+ y)2 +2( x+ y).(x- y) +(x- y)2

      (áp dụng hằng đẳng thức thứ 1với A = x+ y, B = x- y)

      = [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

      = (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

      = [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

      = 25k2 + 40k + 16

      = 25k2 + 40k + 15 + 1

      = 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1. (đpcm)

Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

a. x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b. x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c. x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a. Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

      = (87 + 13)(87 – 13)

      = 100.74 = 7400

b. x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101.

= x3 - 3.x2.1 + 3.x.12 - 13 = (x-1)3

= (101 - 1)3 = 1003 = 1000000

c. Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

      = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

      = (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a. (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b. a3 + b3 = (a + b)[(a - b)2 + ab]

c. (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)

= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3 = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái ta có:

VT = a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

=(a+b)(a2-2ab+b2+ab)

=(a + b)[(a – b)2 + ab] = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a2 + b2)(c2 + d2)

= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2

= (a2c2 + 2abcd + b2d2 ) + (a2d2 – 2abcd + b2c2)

= (ac + bd)2 + (ad – bc)2=VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a. x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x

b. 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a. Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x

Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.(đpcm)

b. Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ -1 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.(đpcm)

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a. P = x2 – 2x + 5

b. Q = 2x2 – 6x

c. M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Lời giải:

a. Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất khi (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b. Ta có: Q = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4)

      = 2[(x - 3/2)2 - 9/4 ] = 2(x - 3/2)2 - 9/2

Vì (x - 3/2)2 ≥ 0 nên 2(x - 3/2)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 3/2)2 - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất khi (x - 3/2)2 = 0 ⇒ x = 3/2

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 3/2.

c. Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4) + 3/4 = (y + 3)2 + (x - 1/2 )2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x - 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x - 1/2 )2 ≥ 0

⇒ M = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 khi Giải sách bài tập Toán lớp 8 hay nhất, chi tiết

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a. A = 4x – x2 + 3

b. B = x – x2

c. N = 2x – 2x2 – 5

Lời giải:

a. Ta có: A = 4x – x2 + 3

      = 7 – x2 + 4x – 4

      = 7 – (x2 – 4x + 4)

      = 7 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2

b. Ta có: B = x – x2

      = 1/4 - x2 + x - 1/4

      = 1/4 - (x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 )

      = 1/4 - (x - 1/2 )2

Vì (x - 1/2 )2 ≥ 0 với mọi x nên B = 1/4 - (x - 1/2 )2 ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

c. Ta có: N = 2x – 2x2 – 5

      = - 2(x2 – x + 5/2 )

      = - 2(x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )

      = - 2[(x - 1/2 )2 + 9/4 ]

      = - 2(x - 1/2 )2 - 9/2

Vì (x - 1/2 )2 ≥ 0 với mọi x nên - 2(x - 1/2 )2 ≤ 0

Suy ra: N = - 2(x - 1/2 )2 - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 khi x- ½ = 0 hay x = 1/2 .

Bài 3.1 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x2 + y2 = 26 và xy = 5, giá trị của (x-y)2 là:

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36

Lời giải:

Chọn B

Ta có: (x-y)2 = x2-2xy+y2 = (x2+y2) - 2xy = 26 - 2.5=16

Bài 3.2 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a2 + 2a + 4)(a − 2) là:

A. (a+2)3 B. (a-2)3 C. a3 + 8 D. a3 − 8

Lời giải:

Chọn D.

Cách 1: (a2 + 2a + 4)(a − 2)=a3-2a2+2a2-4a+4a-8=a3 – 8

Cách 2: (a2 + 2a + 4)(a − 2) = (a- 2).(a2 + 2a + 4) = a3 – 8 ( hằng đẳng thức).

Bài 3.3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức:

a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x+4) 2

b) Q = (x-y) 3 + (y+x) 3 + (y-x) 3 – 3xy(x + y)

Lời giải:

a. P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4) 2

      = 5x – 1 + (2 – 10x).( 4+ 5x) + ( 5x + 4)2

      = 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50x2 + 25x2 + 40x + 16

      = (- 50x2 + 25x2)+ ( 5x + 10x – 40x + 40x) + (- 1+ 8 + 16)

      = -25x2 + 15x + 23

b. Q = (x-y) 3 + (y+x)3 + (y-x)3 – 3xy(x + y)

      = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 + 3y2.x + 3yx2 + x3 + y3 – 3y2.x +3yx2 – x3 – 3x2y – 3xy2

      = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + y3 + 3.xy2 + 3x2.y + x3 + y3 – 3x.y2+ 3x2.y – x3 – 3x2y – 3xy2

       = ( x3 + x3 – x3)+ ( - 3x2y + 3x2y+ 3x2y – 3x2y)+ (3xy2 + 3xy2 - 3xy2- 3xy2) + (-y3+ y3+ y3 )

       = x3 + 0x2y + 0.xy2 + y3

       = x3+ y3

Bài 3.4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

P = 12.(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)

Lời giải:

Ta có:

(52 - 1).P = ( 52 – 1).12.(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)

= 12.( 52 – 1).(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)

= 12.( 54 - 1)( 54 + 1)( 58 + 1)(516 + 1)

= 12.( 58 - 1)( 58 + 1)(516 + 1)

= 12.( 516 - 1)(516 + 1)

= 12.( 532 - 1)

Giải sách bài tập Toán lớp 8 hay nhất, chi tiết

Bài 3.5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức:

(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

Lời giải:

Biến đổi vế trái:

(a+b+c)3= [(a+b)+c]3 = (a+b)3+3(a+b)2 c+3(a+b)c2+c3

      = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a2 + 2ab + b2)c + 3ac2 + 3bc2 + c3

      = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + c3

      = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2

      = a3 + b3 + c3 + (3a2b + 3ab2) +( 3a2c + 3abc)+ (3abc + 3b2c)+(3ac2 + 3bc2)

      = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3c2(a + b)

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, chi tiết khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau
Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học