Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1

Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a. Cho tam giác đều ABC. Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.

b. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều)

c. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

a) Ta có: M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC.

Nên MN là đường trung bình của ΔABC.

Do đó, MN = $\frac{1}{2}$ AB.

Ta có: P là trung điểm của AB; M là trung điểm BC

Nên MP là đường trung bình của ΔABC.

Do đó, MP = $\frac{1}{2}$ AC.

Tương tự, NP là đường trung bình của ΔABC ⇒ NP = $\frac{1}{2}$ BC.

Mà AB = BC = AC (vì ΔABC đều).

Do đó MN = MP = NP.

Vậy Δ MNP đều.

b) Vì ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB

Nên AQ = QB = BM = MC = CN = ND = DP = PA.

Xét ΔAPQ và ΔBQM có:

AQ = BM (cmt)

$\hat{A} = \hat{B} = 90^{o}$ (vì ABCD là hình vuông)

AP = BQ (cmt)

Do đó: ΔAPQ = ΔBQM (c.g.c)

Suy ra PQ = QM (hai cạnh tương ứng) (1)

Xét ΔBQM và ΔCMN có:

BM = CN (cmt)

$\hat{B} = \hat{C}$ = 90^o (vì ABCD là hình vuông)

BQ = CM (cmt)

Do đó ΔBQM = ΔCMN (c.g.c)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng) (2)

Xét ΔCMN và ΔDNP có:

CN = DP (cmt)

$\hat{C} = \hat{D}$ = 90^o(vì ABCD là hình vuông)

CM = DN (cmt)

Do đó ΔCMN = ΔDNP (c.g.c)

Suy ra MN = NP (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM.

Suy ra tứ giác MNPQ là hình thoi.

Vì AP = AQ nên ΔAPQ vuông cân tại A;

BQ = BM nên ΔBMQ vuông cân tại B.

Do đó: $\hat{A Q P} = \hat{B Q M} = 45^{o}$ .

Lại có: $\hat{A Q P} + \hat{P Q M} + \hat{B Q M} = \hat{A Q B} = 180^{o}$

⇒ $\hat{P Q M} = 180^{o} - (\hat{A Q P} + \hat{B Q M})$

= 180^o− (45^o + 45^o) = 90^o.

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Xét ΔABC và ΔBCD có:

AB = BC (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\hat{B} = \hat{C}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

BC = CD (vì ABCDE là ngũ giác đều).

Do đó: ΔABC = ΔBCD (c.g.c)

Suy ra AC = BD (hai cạnh tương ứng) (4)

Tương tự:

Xét ΔBCD và ΔCDE có:

BC = CD (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\hat{C} = \hat{D}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

CD = DE (vì ABCDE là ngũ giác đều)

Do đó ΔBCD = ΔCDE (c.g.c)

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (5)

Xét ΔCDE và ΔDEA có:

CD = DE (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\hat{D} = \hat{E}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

DE = EA (vì ABCDE là ngũ giác đều)

Do đó ΔCDE = ΔDEA (c.g.c)

Suy ra CE = DA (hai cạnh tương ứng) (6)

Xét ΔDEA và ΔEAB có:

DE = EA (vì ABCDE là ngũ giác đều)

$\hat{E} = \hat{A}$ (vì ABCDE là ngũ giác đều)

EA = AB (vì ABCDE là ngũ giác đều)

Do đó ΔDEA = ΔEAB (c.g.c)

Suy ra DA = EB (hai cạnh tương ứng) (7)

Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB.

Trong ΔABC có RM là đường trung bình.

Nên RM = $\frac{1}{2}$ AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mặt khác, trong ΔBCD ta có MN là đường trung bình

Nên MN = $\frac{1}{2}$ BD (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong ΔCDE ta có NP là đường trung bình.

Nên NP = $\frac{1}{2}$ CE (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong ΔDEA ta có PQ là đường trung bình

Nên PQ = $\frac{1}{2}$ DA (tính chất đường trung bình của tam giác).

Trong ΔEAB ta có QR là đường trung bình

Nên QR = $\frac{1}{2}$ EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do đó MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = \hat{E}$ = $\frac{( 5 - 2) . 180^{o}}{5}$ = 108^o.

Vì ΔDPN cân tại D

Nên $\hat{D P N} = \hat{D N P} = \frac{180^{o} - \hat{D}}{2} = \frac{180^{o} - 108^{o}}{2} = 36^{o}$

Vì ΔCNM cân tại C

Nên $\hat{C N M} = \hat{C M N} = \frac{180^{o} - \hat{D}}{2} = \frac{180^{o} - 108^{o}}{2} = 36^{o}$ .

Mà $\hat{D N P} + \hat{P N M} + \hat{C N M} = 180^{o}$

⇒ $\hat{P N M} = 180^{o} - ( \hat{D N P} + \hat{C N M})$

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o.

Vì ΔBMR cân tại B

Nên $\hat{B M R} = \hat{B R M} = \frac{180^{o} - \hat{B}}{2} = \frac{180^{o} - 108^{o}}{2} = 36^{o}$

Mà $\hat{C M N} + \hat{N M R} + \hat{B M R} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{N M R} = 180^{o} - (\hat{C M N} + \hat{B M R})$

= 180^o – (36^o – 36^o) = 108^o.

Vì ΔARQ cân tại A

Nên $\hat{A R Q} = \hat{A Q R} = \frac{180^{o} - \hat{A}}{2} = \frac{180^{o} - 108^{o}}{2} = 36^{o}$

Mà $\hat{B R M} + \hat{M R Q} + \hat{A R Q} = 180^{o}$

⇒ $\hat{M R Q} = 360^{o} - (\hat{B R M} + \hat{A R Q})$

= 180^o − (36^o – 36^o) = 108^o.

Vì ΔQEP cân tại E

Nên $\hat{E Q P} = \hat{E P Q} = \frac{180^{o} - \hat{E}}{2} = \frac{180^{o} - 108^{o}}{2} = 36^{o}$

Mà $\hat{A Q R} + \hat{R Q P} + \hat{E Q P} = 180^{o}$

⇒ $\hat{R Q P} = 180^{o} - (\hat{A Q R} + \hat{E Q P})$

= 180^o – (36^o – 36^o) = 108^o.

Mà $\hat{E P Q} + \hat{Q P N} + \hat{D P N} = 180^{o}$

⇒ $\hat{Q P N} = 180^{o} - (\hat{E P Q} + \hat{D P N})$

= 180^o – (36^o – 36^o) = 108^o.

Do đó $\hat{P N M} = \hat{N M R} = \hat{M R Q} = \hat{R Q P} = \hat{Q P N}$ .

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 8 (SBT Toán 8) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-1-da-giac-da-giac-deu.jsp

Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học