(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình lượng giác cơ bản

Chủ đề Phương trình lượng giác cơ bản trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương trình sin x = m (1)

1.1. Phương pháp giải

• Với |m| > 1, phương trình (1) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ sao cho sinα = m.

Khi đó, ta có: sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

⮚ Chú ý:

– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sinx = m:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sinx = sina^o như sau: sinx = sina^o = $\left[\begin{array}{l}x=a^o+k{360}^o\\ x={180}^o-a^o+k{360}^o\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

– Tổng quát: f(x) = sin g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình $3\sin 2x-m^2+5=0$ có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin 2x=\frac{m^2-5}{3}$.

Vì sin 2x ∈ [-1;1] nên $\frac{m^2-5}{3}\in \left[-1;1\right]$ ⇔ $m^2\in \left[2;8\right]\iff \left[\begin{array}{l}-2\sqrt{2}\le m\le -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\le m\le 2\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m là: -2;2 thì phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 2. Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40° bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+\mathrm{12,}t\in \mathbb{Z}$ và 0 ≤ t ≤ 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

A. 80.

B. 171.

C. 262.

D. 353.

Hướng dẫn giải

Ta có $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\le 3+12=15$.

Dấu bằng xảy ra khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=1$ ⇔ $\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ⇔ t = 171 + 364k.

Mặt khác t ∈ (0;365] nên $0<171+364k\le 365$ ⇔ $-\frac{171}{364}<k\le \frac{194}{364}$.

Mà k ∈ ℤ nên k = 0. Vậy t = 171. Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sin \left[\frac{\pi }{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]=0$.

Hướng dẫn giải

* Lưu ý: Đây là dạng phương trình lạ và khó đòi hỏi học sinh phải thực hiện theo 2 bước.

• Bước 1: Giải phương trình của sin tìm nghiệm theo k.

• Bước 2: Biện luận để k thỏa mãn điều kiện nghiệm nguyên dương.

2. Dạng toán: Phương trình cos x = m (2)

2.1. Phương pháp giải

• Với  |m| > 1, phương trình (2) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0;π] sao cho cosα = m.

Khi đó, ta có: cosx = m ⇔ cosx = cosα ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

⮚ Chú ý:

– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cosx = m:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cosa^o như sau: cosx = cosa^o = $\left[\begin{array}{l}x=a^o+k{360}^o\\ x=-a^o+k{360}^o\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

– Tổng quát: cos f(x) = cos g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho phương trình $\cos \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm x₀ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\cos \left(5x-45°\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = 57°.

3. Dạng toán: Phương trình tan x = m

3.1. Phương pháp giải

Gọi α là số thực thuộc khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ sao cho tan α = m. Khi đó, ta có:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x = tan a^o như sau: tan x = tan a^o ⇔ x = a^o + k180° (k ∈ ℤ).

– Tổng quát: tan f(x) = tan g(x) ⇔ f(x) = g(x) = kπ (k ∈ ℤ) (trong trường hợp phương trình đã xác định).

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: $3\tan \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: tanx = tan3x (1).

Huớng dẫn giải

4. Dạng toán: Phương trình cot x = m

4.1. Phương pháp giải

Gọi α là số thực thuộc khoảng (0;π) sao cho cot α = m. Khi đó, ta có:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cot x = cot a^o như sau: cot x = cot a^o ⇔ x = a^o + k180° (k ∈ ℤ).

– Tổng quát: cot f(x) = cot g(x) ⇔ f(x) = g(x) = kπ (k ∈ ℤ) (trong trường hợp phương trình đã xác định).

4.2. Ví dụ

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\tan \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)+2\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cot \left(\frac{\pi }{4}\sin 4x\right)=1$

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}\sin 4x\le \frac{\pi }{4}$. Phương trình xác định với $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\cot x+\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 2. Phương trình sin2x = cosx có nghiệm là

Câu 3. Biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin2x = 1 trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu điểm?

A. 1.

B. 8.

C. 4.

D. 2.

Câu 4. Tập giá trị của tham số m để phương trình 2cosx + 3m - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$ là m ∈ (a;b). Khi đó 6a + b bằng?

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 5. Phương trình cosx - m = 0 vô nghiệm khi m là:

A. $\left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.$.

B. m > 1.

C. -1 ≤ m ≤ 1.

D. m < -1.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$. Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Điền đáp án

Câu 17. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos(sinx) = 1 trên [0;2π] có dạng mπ. Xác định giá trị của m.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*).

a) Phương trình (*) tương đương $\cot 3x=\cot \left(\frac{-\pi }{6}\right)$.

b) Phương trình (*) có nghiệm $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ bằng $\frac{-5\pi }{9}$.

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{2\pi }{9}$.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---