HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12: Ta giải bài toán Tình huống mở đầu.

Từ HĐ1 ta có bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

F(x; y) = 40x + 30y → max

Với các ràng buộc

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Miền chấp nhận được S của bài toán là miền tứ giác tô màu trong Hình 2.3.

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

a) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thỏa mãn F(x; y) = 40x + 30y = 1 200.

b) Với mỗi số thực m xét đường thẳng d_m: 40x + 30y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để d_m ∩ S ≠ ∅.

c) Từ câu b suy ra giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S, từ đó suy ra lời giải của bài toán.

Lời giải:

a) Theo bài, F(x; y) = 40x + 30y = 1 200, hay 4x + 3y = 120.

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Vậy tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu đề bài là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng d₁₂₀₀: 4x + 3y = 120 nằm trong miền chấp nhận S, chính là tập hợp các điểm nằm trên đoạn thẳng AB (hình vẽ).

b) Đường thẳng d_m song song với AB, có phương không đổi, do đó từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng d_m: 40x + 30y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = \frac{m}{30} .$

Từ hình vẽ, ta thấy rằng để d_m ∩ S ≠ ∅ thì $0 \leq \frac{m}{30} \leq \frac{200}{3}$ tức là 0 ≤ m ≤ 2 000.

Vậy 0 ≤ m ≤ 2 000.

c) Ta có: F(x; y) = 40x + 30y = m, mà theo kết quả của câu b, ta có 0 ≤ m ≤ 2 000 nên 0 ≤ F(x; y) ≤ 2 000.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S là 2 000.

Ta có lời giải của bài toán như sau:

Gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II là: F(x; y) = 40x + 30y (nghìn đồng).

Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 2x + 4y (kg).

Số giờ làm để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 30x + 15y (giờ).

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu (lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng có sẵn) và tối đa 1 200 giờ làm việc nên ta có hệ:

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC được tô màu trong hình vẽ dưới đây, trong đó đường thẳng d₁: x + 2y = 100 và đường thẳng d₂: 2x + y = 80.

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Xét đường thẳng d_m: 40x + 30y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = \frac{m}{30} .$

Từ hình vẽ, ta thấy rằng để d_m ∩ S ≠ ∅ thì $0 \leq \frac{m}{30} \leq \frac{200}{3}$ tức là 0 ≤ m ≤ 2 000.

Ta có: F(x; y) = 40x + 30y = m, nên 0 ≤ F(x; y) ≤ 2 000.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền S là 2 000.

Vậy lợi nhuận cao nhất mà xí nghiệp đạt được là 2 000 nghìn đồng, tức 2 triệu đồng khi sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học