Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Bài 10 trang 72 Chuyên đề Toán 12: Cô An thiết kế một đề thi trắc nghiệm gồm m câu hỏi, mỗi câu hỏi có k lựa chọn. Mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm. Cô An muốn thiết kế sao cho nếu một học sinh lựa chọn phương án trả lời cho mỗi câu hỏi một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau thì điểm số trung bình của học sinh đó sẽ là 10 với độ lệch chuẩn ít nhất là $2 \sqrt{2} .$ Cô An cũng muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể. Vậy cô An nên thiết kế đề với m và k bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Chọn ngẫu nhiên một câu hỏi”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại m lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Trả lời đúng câu hỏi đó”. Ta có $P (A) = \frac{1}{k} .$

Gọi X là số câu trả lời đúng trong tổng số m câu hỏi.

Do phép thử T được thực hiện m lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng $\frac{1}{k}$ nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B (m; \frac{1}{k}) .$

Kì vọng của X là: $E (X) = m \cdot \frac{1}{k} .$

Phương sai của X là: $V (X) = m \cdot \frac{1}{k} \cdot (1 - \frac{1}{k}) .$

Theo bài, ta có: $m \cdot \frac{1}{k} = 10$ và $m \cdot \frac{1}{k} \cdot (1 - \frac{1}{k}) \geq {(2 \sqrt{2})}^{2}$

Suy ra $1 - \frac{1}{k} \geq 0, 8 \Leftrightarrow \frac{1}{k} \leq 0, 2 \Leftrightarrow k \geq 5.$

Mà cô An muốn số phương án trả lời k ít nhất có thể nên ta lấy k = 5.

Khi đó, $m = 10 : \frac{1}{k} = 10 : \frac{1}{5} = 50.$

Vậy m = 50 và k = 5.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học