Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Trang trước Trang sau

HĐ1 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Hãy giải thích vì sao nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm toạ độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol, hãy so sánh |x₀| với a.

Lời giải:

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Ta có:

$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{_{A}}^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{A}^{2} = a^{2} \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{A} = a \\ x_{A} = - a \end{array} .$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow - \frac{y_{_{B}}^{2}}{b^{2}} = 1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1.$

Vì $\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq 0$ nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq 1 \Rightarrow x_{0}^{2} \leq a^{2} \Rightarrow | x_{0} | \leq a .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học