Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol

Trang trước Trang sau

Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : $y = - \frac{b}{a} x$ hay bx + ay = 0 và d₂ : $y = \frac{b}{a} x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = $\frac{|b x + a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ , d(M, d₂) = $\frac{|b x - a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}}$ .

⇒ d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{|b x + a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} . \frac{|b x - a y|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} = \frac{|{(b x)}^{2} - {(a y)}^{2}|}{a^{2} + b^{2}}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2} b^{2} - a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}} = 1$

⇒ ${(b x)}^{2} - {(a y)}^{2} = a^{2} b^{2}$

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{|a^{2} b^{2}|}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học