Chứng minh n^n > (n+1)^(n-1) với n thuộc N sao, n lớn hơn bằng 2

Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Lời giải:

+) Khi n = 2, ta có: 2² > (2 + 1)^{2 – 1} $\Leftrightarrow$ 4 > 3.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý (k ≥ 2) mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)^{k + 1} > [(k+1) + 1]^{(k + 1) – 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k^k > (k + 1)^{k – 1}.

Suy ra: k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{k – 1} . (k + 1)^{k + 1}

$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^2k

$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)²]^k

$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k² + 2k + 1)^k > (k² + 2k)^k = [k(k + 2)]^k = k^k . (k + 2)^k

$\Rightarrow$ (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^k = (k + 2)^{(k + 1) – 1}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học