Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC)

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 85 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H ∈ BC).

a) Chứng minh ∆AHB = ∆AHC.

b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh AD = DH.

c) Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.

d) Chứng minh chu vi ∆ABC lớn hơn AH + 3BG.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH (H thuộc BC)

a) Xét hai tam giác vuông ∆AHB và ∆AHC có:

AH chung, AB = AC (tam giác ABC cân tại A) nên ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Từ câu a) ∆AHB = ∆AHC , suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ (hai góc tương ứng).

Ta có AC // HD, suy ra $\hat{A_{2}} = \hat{H_{1}}$ (so le trong), từ đó $\hat{A_{1}} = \hat{H_{1}}$ nên ∆ADH cân tại D, suy ra AD = DH. (1)

c) Ta có $\hat{A_{1}} + \hat{A B H} = 90 °$ (vì tam giác AHB vuông tại H), $\hat{H_{1}} + \hat{H_{2}} = \hat{A H B} = 90 °$ (AH vuông góc với BC tại H). Vì $\hat{A_{1}} = \hat{H_{1}}$ nên $\hat{A B H} = \hat{H_{2}}$ , suy ra tam giác BHD cân tại D, do đó BD = DH. (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của AB.

Tam giác ABC có CD, AH là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Khi đó BG là trung tuyến, M là trung điểm của AC nên BG đi qua M, tức B, G, M thẳng hàng.

d) Trên tia BM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của BK, khi đó 2BM = BK.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 3BG = 2BM. Từ đó BK = 2BM = 3BG.

Ta chứng minh được ∆BMC = ∆KMA (c.g.c), suy ra BC = AK.

Trong tam giác ABK, ta có:

AK + AB > BK hay BC + AB > BK, mà BK = 2BM = 3BG nên BC + AB > 3BG. (3)

Trong tam giác vuông AHC, ta có AC > AH. (4)

Từ (3) và (4) suy ra BC + AC + AB > AH + 3BG.

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác