Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác

Trang trước Trang sau

Câu 9 trang 128 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a) Hình 112

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Suy ra G thuộc đường thẳng AM.

Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có

AM là cạnh chung;

AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân);

MB = MC (vì M là trung điểm của BC).

Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Do đó $\hat{B A M}$ = $\hat{C A M}$ và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\hat{A M B}$ + $\hat{A M C}$ = 180^o (hai góc kề bù) và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ nên và $\hat{A M B}$ = $\hat{A M C}$ = 90^o hay AM BC. Suy ra điểm H thuộc đường thẳng AM.

Do $\hat{B A M}$ = $\hat{C A M}$ nên AM là tia phân giác của góc BAC. Suy ra điểm I thuộc đường thẳng AM.

Do AB = AC và MB = MC nên AM là đường trung trực của cạnh BC. Suy ra điểm O thuộc đường thẳng AM.

Như vậy, các điểm G, H, I, O thuộc đường thẳng AM hay các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Hình 113

Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Do các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng nên AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:

AD là cạnh chung;

$\hat{B A D}$ = $\hat{C A D}$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC).

Suy ra ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn).

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC là tam giác cân.

Xem thêm các bài giải Vở bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Cánh diều khác