Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Với Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Hình lăng trụ đứng - Hình chóp đều để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

A. Phương pháp giải

+) Vận dụng các dấu hiệu nhận biết các quan hệ song song, vuông góc.

+) Chú ý rằng trong hình chóp đều thì:

- Các cạnh đáy bằng nhau.

- Các cạnh bên bằng nhau.

- Các trung đoạn bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh rằng Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

b) Chứng minh rằng Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Lời giải:

a) Ta lần lượt có:

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Từ (1), (2) suy ra Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

b. Từ kết quả câu a), ta có: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều  (3)

Mặt khác, vì ABCD là hình vuông nên Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều (4)

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Từ (3) và (4) suy ra: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O1 là giao điểm của A1C1 và B1D1. Chứng minh rằng:

a) BDD1B1 là hình chữ nhật.

b) OO1⊥ (ABCD)

Lời giải:

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

a) Từ giả thiết ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB1A1A ),( BB1C1C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

⇒ BB1⊥ mp (ABCD)

Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp (ABCD) và đi qua B nên:

BB1⊥ BD ⇒Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD1B1 có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC1A1 là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A1B1C1D1 ta được O là trung điểm của AC và BD và O1 là trung điểm của A1C1 và B1D1

⇒ OO1 là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD1B1 và ACC1A1

Do đó: OO1//BB1//DD1//AA1//CC1


Suy ra: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đềuCâu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và SA là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

b) Cho biết Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều chứng minh rằng diện tích tam giác BCS bằng tổng diện tích của các tam giác ABSACS.

Giải.

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Xét ∆SBC cân tại S có M là trung điểm BC

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều(1)

Xét ∆ABC đều có M là trung điểm BC. 

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều(2)

 Từ (1), (2) Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Mặt khác Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều nên Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

b) Xét ∆SAM vuông tại A,Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều nên Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều hay SM=2SA

Diện tích ∆BCS là: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Tổng diện tích các ∆ABS∆ACS là:

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC. Gọi M, N, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC, SB và SC. Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh rằng tứ giác EDMN là hình bình hành;

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, đường cao SO. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của SA, SD và BC. Chứng minh rằng:

a) CF//EM.

b) Tứ giác FEBC là hình thang cân.

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi G và H thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC.

a) Chứng minh rằng GH//SA.

b) GH song song với những mặt phẳng nào?

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A', B', C', D' sao cho Sa'=SB'=SC'=SD'. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A', B', C, D' cùng thuộc một mặt phẳng. Có nhận xét gì về mặt phẳng (A'B'C'D') và mp(ABCD).

b) Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Cho biết Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều. Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác đều.

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các mặt bên là những tam giác vuông cân tại S.

a) Chứng minh rằng mỗi mặt bên vuông góc với hai mặt bên còn lại.

b) Gọi độ dài của mỗi cạnh đáy là a, Tính chiều cao của hình chóp.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:


Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học