Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

Với Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Hình lăng trụ đứng - Hình chóp đều để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Dạng bài: Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều

A. Phương pháp giải

+) Vận dụng các dấu hiệu nhận biết các quan hệ song song, vuông góc.

+) Chú ý rằng trong hình chóp đều thì:

- Các cạnh đáy bằng nhau.

- Các cạnh bên bằng nhau.

- Các trung đoạn bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng

Lời giải:

a) Ta lần lượt có: Từ (1), (2) suy ra b. Từ kết quả câu a), ta có:   (3) Mặt khác, vì ABCD là hình vuông nên  (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A₁B₁C₁D₁ có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O₁ là giao điểm của A₁C₁ và B₁D₁. Chứng minh rằng:

a) BDD₁B₁ là hình chữ nhật.

b) OO₁⊥ (ABCD)

Lời giải:

a) Từ giả thiết ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB₁A₁A ),( BB₁C₁C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:

⇒ BB₁⊥ mp (ABCD)

Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp (ABCD) và đi qua B nên:

BB₁⊥ BD ⇒

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được:

Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD₁B₁ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC₁A₁ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A₁B₁C₁D₁ ta được O là trung điểm của AC và BD và O₁ là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁

⇒ OO₁ là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD₁B₁ và ACC₁A₁

Do đó: OO₁//BB₁//DD₁//AA₁//CC₁

Suy ra:

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và SA là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng

b) Cho biết chứng minh rằng diện tích tam giác BCS bằng tổng diện tích của các tam giác ABS và ACS.

Giải.

Xét ∆SBC cân tại S có M là trung điểm BC

(1)

Xét ∆ABC đều có M là trung điểm BC. 

(2)

 Từ (1), (2)

Mặt khác nên

b) Xét ∆SAM vuông tại A, nên  hay SM=2SA

Diện tích ∆BCS là:

Tổng diện tích các ∆ABS và ∆ACS là:

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC. Gọi M, N, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC, SB và SC. Gọi O là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh rằng tứ giác EDMN là hình bình hành;

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, đường cao SO. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của SA, SD và BC. Chứng minh rằng:

a) CF//EM.

b) Tứ giác FEBC là hình thang cân.

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi G và H thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC.

a) Chứng minh rằng GH//SA.

b) GH song song với những mặt phẳng nào?

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A', B', C', D' sao cho Sa'=SB'=SC'=SD'. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A', B', C, D' cùng thuộc một mặt phẳng. Có nhận xét gì về mặt phẳng (A'B'C'D') và mp(ABCD).

b) 

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Cho biết . Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác đều.

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các mặt bên là những tam giác vuông cân tại S.

a) Chứng minh rằng mỗi mặt bên vuông góc với hai mặt bên còn lại.

b) Gọi độ dài của mỗi cạnh đáy là a, Tính chiều cao của hình chóp.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình lăng trụ đứng
• Tìm các yếu tố song song, vuông góc trong hình lăng trụ đứng
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình lăng trụ đứng
• Tính số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình chóp đều
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---