Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng (hay, chi tiết)

Với Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải. 

• Vẽ thêm đường trung bình.
• Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang.  
• Sử dụng tiên để Ơ-clit về đường thẳng song song: Qua một điểm ở ngoài

một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó hoặc sử dụng tính chất nếu một góc là góc bẹt thì hai cạnh của góc ấy là hai tia đối nhau hay hai cạnh của góc này nằm trên một đường thẳng.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho , kéo dài trung tuyến BD đến F sao cho DF = BD và trung tuyến CE đến G sao cho EG = CE. Chứng minh ba điểm G, A, F thẳng hàng.

Giải

Vì BD, CE là hai trung tuyến của ΔABC theo giả thiết nên D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB hay AD = DC, AE = EB. 

Từ giả thiết DF = BD, EG = CE suy ra ED là đường trung bình của hai tam giác ACG và ABF. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, ta được:

⇒ ba điểm G, A, F thẳng hàng (vì qua điểm A nằm ngoài đường thẳng ED chỉ có một đường thẳng song song với ED).

Ta cũng có thể giải thích lí do trên bằng cách khác:

Ta có  vì là góc so le trong của ED//GA và ED//AF.

Áp dụng tính chất về góc vào ΔAED, thu được:

hay góc GAF là góc bẹt suy ra AG và AF là hai tia đối nhau tức là G, A, F thẳng hàng.

Ví dụ 2. Từ đỉnh A của ΔABC lần lượt kẻ các đường vuông góc AK, AH xuống các đường phân giác của và  . Chứng minh HK//BC.

Giải

Gọi giao điểm của AH, AK với đường thẳng BC lần lượt là E và D. 

Từ giả thiết suy ra BK vừa là đường phân giác vừa là đường cao của ΔABD  nên tam giác này cân tại B. CH vừa là đường phân giác vừa là đường cao của ΔAEC  nên tam giác này cân tại C. Theo tính chất của tam giác cân thì CH, BK là các đường trung tuyến của ΔAEC và ΔABD hay AH = HE, AK = KD, nên HK là đường trung bình của  ΔAED.

Áp dụng định lí đường trung bình vào ΔAED thu được HK//ED. 

Vậy HK//BC.

Ví dụ 3. Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K thứ tự là trung điểm của AD, BD, BC. Chứng minh ba điểm E, F, K thẳng hàng.

Giải

Vì E, F, K thứ tự là trung điểm của AD, BD, BC theo giả thiết nên EF là đường trung bình của tam giác ABD, EK là đường trung bình của hình thang ABCD. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác ABD và hình thang ABCD, ta có:

⇒E,K,F  là ba điểm thẳng hàng. Vì từ điểm E ở ngoài đường thẳng AB chỉ kẻ được một đường thẳng song song với nó.

Ví dụ 4. Cho ΔABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh DE//HI và DE = HI.

Giải

Từ giả thiết ta có ED, HI lần lượt là các đường trung bình của hai tam giác

ABC và GBC. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này, ta được:

 

Ví dụ 5. Chứng minh rằng trong một hình thang, trung điểm hai cạnh bên, trung điểm hai đường chéo là bốn điểm thẳng hàng.

Giải

Xét hình thang ABCD (AB//CD). 

Gọi E, P, Q, F lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC, BC thì EF, EP, EQ thứ tự là các đường trung bình của hình thang ABCD, tam giác ABD và tam giác ACD. 

Áp dụnh định lí đường trung bình vào các tam giác và vào hình thang, ta được: EP//AB//CD; EQ//CD//AB; EF//AB//CD.

Suy ra bốn điểm E, P, Q, F thẳng hàng (vì từ điểm E ở ngoài hai đường thẳng AB//CD chỉ kẻ được một đường thẳng song song với hai đường thẳng đó).

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC. Kẻ EM // BC (M ∈ AB), EN // CD (N ∈ AD). Khẳng định nào về mối quan hệ giữa MN và BD là đúng?

A. MN ⊥ BD;

B. MN // BD;

C. BD = 3MN;

D. BD = 2MN.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Theo định lý Thales, ta có:

+) $\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}$ (EM // BC)

+) $\frac{AN}{AD}=\frac{AE}{AC}$ (EN // CD)

Suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$.

Theo định lý Thales đảo, suy ra MN // BD.

Bài 2. Cho △ABC, lấy D tùy ý thuộc cạnh BC, M tùy ý thuộc cạnh AD, gọi I, K thứ tự là trung điểm BM , CM . Các tia DI, DK cắt AB, AC thứ tự tại E, F. Khẳng định nào dưới đây về mối quan hệ giữa EF và IK là đúng?

A. IK // EF;

B. IK ⊥ EF;

C. EF = 2IK;

D. EF = 3IK.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tam giác BMC có I, K là trung điểm của các cạnh BM, CM.

Do đó IK là đường trung bình của tam giác, suy ra IK // BC.

Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Do đó IN là đường trung bình của tam giác ABM nên IN // AB.

Suy ra $\frac{ID}{ED}=\frac{ND}{AD}$.

Tương tự, ta có: $\frac{DK}{DF}=\frac{ND}{AD}$.

Suy ra $\frac{ID}{ED}=\frac{DK}{DF}$.

Theo định lý Thales đảo, ta có: EF // IK.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BM và CN. Khẳng định nào dưới đây về mối quan hệ giữa MN và PQ là đúng?

A. MN ⊥ PQ;

B. PQ = 2MN;

C. PQ = 3MN;

D. MN // PQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

M, N là trung điểm của các cạnh AB, AC suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN // BC.

Ta có tứ giác MNCB là hình thang, P và Q là hai trung điểm của hai cạnh bên.

Suy ra PQ là đường trung bình của hình thang nên PQ // MN // BC.

Bài 4. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB và GC. Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa MN và DE là đúng?

A. MN ⊥ DE;

B. MN = 2DE;

C. MN // DE;

D. MN = 3DE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, AC của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của ∆ABC, suy ra MN // BC.

Tương tự, ta có: DE // BC.

Suy ra MN // DE.

Bài 5. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM . Gọi D, E, F lần lượt là trung diểm của AB, AC và AM . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. D, E, F thẳng hàng.

B. DE = 3DF.

C. DE = 3EF.

D. BC = 2EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta dễ dàng nhận thấy: DF và DE là các đường trung bình của hai tam giác ABM và ABC.

Suy ra DF // BC và EF // BC.

Theo tiên đề Euclid, ta kết luận D, E, F là ba điểm thẳng hàng.

Bài 6. Cho ∆ABC nhọn có đường cao BD, CE. Kẻ DF ⊥ AB, EG ⊥ AC. Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa FG và BC là đúng?

A. FG // BC.

B. BC = 2FG.

C. BC = 3FG.

D. BC ⊥ FG.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABD có EG // BD (Hai đường thẳng cùng vuông góc với AC).

Nên $\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}$ (1)

Tương tự, ta có: $\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AC}$ (2)

Lấy (1) nhân (2), ta có: $\frac{AF}{AE}=\frac{AG}{AC}$.

Theo định lý Thalès đảo, ta suy ra FG // BC.

Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC. Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa IK và AB là đúng?

A. AB = IK.

B. AB = 2IK.

C. IK // AB.

D. IK ⊥ AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do AB // MD nên $\frac{AI}{MI}=\frac{AB}{MD}$.

Do AB // MC nên $\frac{BK}{MK}=\frac{AB}{MC}$.

Do M là trung điểm của CD nên MD = MC.

Suy ra $\frac{AI}{MI}=\frac{BK}{MK}\Rightarrow \frac{AM}{MI}=\frac{BM}{MK}$.

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra IK // AB.

Bài 8. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD); AB = a; CD = 3a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. MN = 3MP.

B. CD = 2MN.

C. M, N, P, Q thẳng hàng.

D. MN ∩ PQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

M, P, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BD, BC.

Nên MP, MN là đường trung bình của tam giác ABC và hình thang ABCD.

Suy ra MP // AB và MN // AB.

Theo tiên đề Euclid ta suy ra M, P, N là ba điểm thẳng hàng.

Tương tự, ta chứng minh được M, Q, N là ba điểm thẳng hàng.

Suy ra C là đáp án đúng.

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm M . Trên tia AM lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN . Vẽ NE ⊥ BC, NF ⊥ CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. M, E, F thẳng hàng.

B. MF = FE.

C. ME = 2EF.

D. ME = 3EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do M là trung điểm của AN và I là trung điểm NC nên MI là đường trung bình của tam giác ANC. Suy ra MI // AC      (1)

HF // NE nên $\frac{MH}{MN}=\frac{HF}{NE}$ suy ra $\frac{MH}{AM}=\frac{HF}{FC}$.

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra MF // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra M, F, I thẳng hàng.

Lại có I là trung điểm của EF nên M, E, F thẳng hàng.

Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF . Gọi I, K, M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. FE = 2IK.

B. FE = MK.

C. I, K, M, N thẳng hàng.

D. KM = 2IK.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) ID // FC (cùng ⊥ AB) nên $\frac{BI}{BF}=\frac{BD}{BC}$.

+) DK // AC (cùng ⊥ BE) nên $\frac{BD}{BC}=\frac{BK}{BE}$.

Suy ra. Theo Thales đảo ta suy ra IK // FE       (1)

Tương tự ta chứng minh được MN // FE và IN // FE         (2)

Từ (1) và (2), theo tiên đề Euclid suy ra I, K, M, N là các điểm thẳng hàng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thang
• Cách dựng hình thang bằng thước và compa (hay, chi tiết)
• Cách dựng hình tam giác bằng thước và compa (hay, chi tiết)
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng trục
• Tìm hình có trục đối xứng – Tìm trục đối xứng của một hình

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---