Cách chứng minh tứ giác là hình thoi (hay, chi tiết)

Với Cách chứng minh tứ giác là hình thoi hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

A. Phương pháp giải

Nhận dạng hình thoi bằng một trong hai cách sau: 

Cách 1: Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 

Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có thêm một trong các dấu hiệu: hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chéo vuông góc hoặc có một đường chéo là đường phân giác của một góc.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh rằng các trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Giải

 

Xét hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA, ta phải chứng minh MNPQ là hình thoi. 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên   .  (1)

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được 

Từ (1) và (2) suy ra bốn tam giác vuông MAQ, MBN, PCN, PDQ bằng nhau nên bốn cạnh tương ứng bằng nhau là MN = NP = PQ = QM. Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, thu được:

Điều này chứng tỏ tam giác AGH có đường cao AO vừa là đường phân giác nên nó cân tại A suy ra HO = OG. (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC.    (3) 

Từ (1), (2) và (3) ta có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của góc HAG nên nó là hình thoi.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho các hình sau, chọn khẳng định đúng.

A. Cả ba hình đều là hình thoi.

B. Hình 1 và hình 2 là hình thoi.

C. Chỉ hình 1 là hình thoi.

D. Cả ba hình đều không phải hình thoi.

Lời giải:

Hình 1 là hình thoi vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau.

Hình 2 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Hình 3 không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng nhau.

Đáp án: C.

Câu 2. Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?

A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

C. Hai đường chéo bằng nhau.

D. Hai đường chéo vuông góc với nhau.

Lời giải:

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

• Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau. 
• Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường. 

Ngoài ra còn có:

• Hai đường chéo vuông góc với nhau. 
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

Đáp án: C.

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng AB, M là trung điểm của AD, F là chân đường vuông góc kẻ từ M đến CE và MF cắt BC ở N. Tứ giác MNCD là hình gì? 

A. Hình thoi

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành

Mà AD = 2AB 

Suy ra 

Ta có MF//AE (cùng vuông góc với EC) mà AE//CD  CD // MF // AE

Suy ra MN là đường trung bình của ABCD hay N là trung điểm của BC 

Từ (1), (2) và (3) suy ra NC = CD = DM = MN.

Tứ giác MNCD là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Đáp án: A.

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có DC = 2BC. Gọi E, F là trung điểm của AB, DC. Gọi AF cắt DE tại I, BF cắt CE tại K. Tứ giác AEFD là hình gì?

A. Hình thoi

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Xét hình bình hành ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD mà DC = 2BC nên 

AE = EB = BC = CF = DF = AD; AB//CD; AD//BC.

Xét tứ giác AEFD có AE = DF; AE//DF nên AEFD là hình bình hành, lại có 

AE = AD (cmt) nên hình bình hành AEFD là hình thoi.

Đáp án: A. 

Câu 5. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. Tứ giác AMBM’ là hình gì?

A. Hình thoi.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thang.

Lời giải:

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’.         

M, D lần lượt là trung điểm của BC, AB nên MD là đường trung bình của ΔABC . Suy ra MD//AC.   (1)

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên  .      (2)

Từ (1) và (2) suy ra  .

Vì D là trung điểm của AB (gt) và D là trung điểm của MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình

bình hành. Mặt khác  nên AMBM’ là hình thoi.

Đáp án: A.

Câu 6. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chọn câu đúng nhất.

A. PQ vuông góc với MN.

B. Tứ giác PMQN là hình thoi.

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC. (định nghĩa đường trung bình). 

Đặt BD = CE = 2a. 

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

 

Suy ra MP = NP = NQ = QM.

Tứ giác MPNQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MPNQ ta được:  .

Đáp án: C.

Câu 7. Trung điểm các cạnh của một hình thang cân là các đỉnh của hình gì?

A. Hình thoi.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thang.

Lời giải:

Xét hình thang cân ABCD có AB//CD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Ta phải chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. Từ giả thiết ta có MN, NP, PQ, QM thứ tự là các đường trung bình của bốn tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Áp dụng định lí đường trung bình vào bốn tam giác trên và tính chất về đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta được:

 

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nó nên là hình thoi.

Đáp án: A.

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có  . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tứ giác AMCN là hình gì?

A. Hình thoi.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thang.

Lời giải:

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được

 

nên ΔABC vuông ở A, ΔADC vuông ở C. Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC, ACD.

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Đáp án: A.

Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, H là trung điểm của DE. Tứ giác MIHK là hình gì?

A. Hình thoi.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình thang.

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên BD = CE (trong một tam giác cân, đường cao tương ứng với hai cạnh bên bằng nhau)

Tam giác BED có I là trung điểm của BE (giả thiết), H là trung điểm của ED (giả thiết)

 ⇒ IH là đường trung bình nên IH//BD và

Chứng minh tương tự ta cũng được MK là đường trung bình của ∆BCD  nên MK//BD và

Từ (1) và (2) suy ra 

⇒IHKM là hình bình hành

Tam giác CDE có H là trung điểm của cạnh DE (giả thiết), K là trung điểm của cạnh CD (giả thiết)

⇒  HK là đường trung bình của tam giác CDE 

Do BD = CE (cmt) Nên

Do đó 

⇒ IHKM là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi
• Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---