Cách chứng minh phân số tối giản

Bài viết Cách chứng minh phân số tối giản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh phân số tối giản.

1. Phương pháp giải

– Để chứng minh một phân số là tối giản, ta tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số, nếu giá trị ước chung lớn nhất tìm được là 1 thì phân số là tối giản, khác 1 thì phân số là chưa tối giản.

– Để tìm ước chung lớn nhất của 2 số, ta thường sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phân số a = $\frac{27}{50}$. Hỏi phân số a có phải là phân số tối giản hay không?

Lời giải:

Ta có:

– Tử số: 27 = 3³;

– Mấu số: 50 = 2.5².

Giữa tử số và mẫu số không có ước chung do đó ước chung lớn nhất của 2 số là 1

Vậy phân số a là một phân số tối giản.

Ví dụ 2. Cho phân số b = $\frac{20}{24}$. Hỏi phân số b có phải là một phân số tối giản hay không?

Lời giải:

Ta có:

– Tử số: 20 = 2².5;

– Mẫu số: 24 = 2³.3.

Ta tìm được ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số là 4.

Do đó phân số b không phải là một phân số tối giản.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong những đáp án dưới đây, phân số nào là phân số tối giản?

A. $\frac{2}{4}$;

B. $\frac{3}{12}$;

C. $\frac{5}{3}$;

D. $\frac{4}{10}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phân số $\frac{5}{3}$ có tử số và mẫu số đều là hai số nguyên tố nên ước chung lớn nhất của chúng là 1.

Do đó $\frac{5}{3}$ là một phân số tối giản.

Bài 2. Trong những đáp án dưới đây, phân số nào là phân số tối giản?

A. $\frac{1}{5}$;

B. $\frac{-4}{10}$;

C. $\frac{6}{-8}$;

D. $\frac{30}{50}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phân số $\frac{1}{5}$có tử số và mẫu số đều là 2 số nguyên tố do đó ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Vì vậy $\frac{1}{5}$ là một phân số tối giản.

Bài 3. Trong những đáp án dưới đây, phân số nào chưa tối giản?

A. $\frac{11}{-14}$;

B. $\frac{-15}{22}$;

C. $\frac{1}{7}$;

D. $\frac{-15}{25}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 15 = 3.5; 25 = 5²

Do đó 15 và 25 có một ước chung là 5.

Suy ra $\frac{-15}{25}$ chưa tối giản.

Bài 4. Trong những đáp án dưới đây, phân số nào chưa tối giản?

A. $\frac{19}{-10}$;

B. $\frac{10}{14}$;

C. $\frac{-14}{15}$;

D. $\frac{11}{21}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phân số $\frac{10}{14}$ có tử số và mẫu số đều là số chẵn nên chúng cùng chia hết cho 2.

Suy ra phân số $\frac{10}{14}$ chưa tối giản.

Bài 5. Trong những đáp án dưới đây, đáp án chỉ bao gồm các phân số tối giản là

A. $\frac{2}{8}; \frac{-24}{44}; \frac{3}{7}$.

B. $\frac{3}{7}; \frac{9}{10}; \frac{12}{19}$.

C. $\frac{2}{8}; \frac{20}{50}; \frac{-4}{16}$.

D. $\frac{-24}{44}; \frac{12}{19}; \frac{3}{7}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

+) 3 và 7 là hai số nguyên tố nên ước chung lớn nhất của 3 và 7 là 1.

Suy ra $\frac{3}{7}$ là phân số tối giản.

+) 10 = 2.5; 9 = 3² suy ra ước chung lớn nhất của 9 và 10 là 1.

Do đó $\frac{9}{10}$ là phân số tối giản.

+) 12 = 2².3 suy ra ước chung lớn nhất của 12 và 19 là 1.

Do đó $\frac{12}{19}$ là phân số tối giản.

Bài 6. Trong các đáp án dưới đây, đáp án nào chỉ bao gồm các phân số tối giản?

A. $\frac{17}{10}; \frac{-15}{14}$.

B. $\frac{17}{10}; \frac{11}{22}$.

C. $\frac{23}{460}; \frac{222222}{424242}$.

D. $\frac{-15}{14}; \frac{23}{460}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) 10 = 2.5 do đó ước chung lớn nhất của 17 và 10 là 1. Suy ra $\frac{17}{10}$ là phân số tối giản.

+) 15 = 3.5; 14 = 7.2 do đó ước chung lớn nhất của 15 và 14 là 1. Suy ra $\frac{-15}{14}$ là phân số tối giản.

Bài 7. Cho phân số $\frac{18}{a}$ (a ∈ ℕ*). Với giá trị nào của a dưới đây thì phân số đã cho là một phân số tối giản?

A. 9;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

– Dễ thấy 18 là một số chẵn nên nếu a = 6 hoặc a = 8 thì tử số và mẫu số đều chia hết cho 2 nên không thỏa mãn.

– 18 = 9.2 nên a = 9 không thỏa mãn.

– 7 là số nguyên tố chỉ có ước là 1 và 7 do đó ước chung lớn nhất của 7 và 18 là 1.

Suy ra a = 7 thỏa mãn.

Bài 8. Cho phân số $\frac{26}{a+3}$ (a ∈ ℕ*). Với giá trị nào của a dưới đây thì phân số đã cho là một phân số tối giản?

A. 10;

B. 11;

C. 12;

D. 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+ Nếu a = 11 hoặc a = 13 thì phân số có mẫu số là một số chẵn nên tử số và mẫu số có ước chung là 2. Suy ra không thỏa mãn.

+ Nếu a = 10 suy ra mẫu số là 13. Lại có 26 = 13.2 nên phân số không tối giản.

+ Nếu a = 12 suy ra mẫu số là 15 = 3.5 và 26 = 2.13. Do đó ƯCLN(15, 26) = 1.

Vậy a = 12 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9. Cho A = $\frac{a}{3}-\frac{3a}{8}$. Với giá trị nào của a dưới đây thì A tối giản?

A. 7;

B. 6;

C. 8;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = $\frac{a}{3}-\frac{3a}{8}=\frac{-a}{24}$.

+) 24 = 2³.3;

+) 6 = 2.3; 7 = 7; 8 = 2³; 9 = 3².

Suy ra chỉ có cặp số (7, 24) có ước chung lớn nhất là 1.

Do đó nếu a = 7 thì A tối giản.

Bài 10. Cho P = $\frac{1}{3}-\frac{2}{a^2+1}$. Với giá trị nào của a dưới đây thì P tối giản?

A. –3;

B. 5;

C. 7;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = $\frac{a^2-5}{3\left(a^2+1\right)}$.

+) Nếu a = –3 thì P = $\frac{4}{30}$, cả tử số và mẫu số đều là số chẵn nên phân số chưa tối giản.

+) Nếu a = 5 thì P = $\frac{20}{78}$, cả tử số và mẫu số đều là số chẵn nên phân số chưa tối giản.

+) Nếu a = 7 thì P = $\frac{44}{150}$, cả tử số và mẫu số đều là số chẵn nên phân số chưa tối giản.

+) Nếu a = 4 thì P = $\frac{11}{51}$, ước chung lớn nhất của 11 và 51 là 1 nên phân số là tối giản.

Vậy a = 4 thì P tối giản.

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---