Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài viết Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

1. Phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng.

– Bước 1: Tìm các điều kiện còn thiếu để chứng minh hai tam giác cần xét là đồng dạng theo ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

– Bước 2: Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác qua tỉ số của một cặp cạnh tương ứng của hai tam giác.

Dạng 2: Tính góc, độ dài đoạn thẳng dựa vào hai tam giác đồng dạng.

– Bước 1: Xác định tam giác chứa các yếu tố cần xác định và tam giác đồng dạng với tam giác ấy rồi chứng minh hai tam giác là đồng dạng.

– Bước 2: So sánh các yếu tố tương ứng giữa hai tam giác đồng dạng để tìm kết quả cho bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ABC và A'B'C' là hai tam giác đều có AB = 3 cm và A'B' = 5 cm. Chứng minh rằng ∆ABC đồng dạng ∆A'B'C' và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác đều nên chúng đều có các góc bằng nhau và bằng 60°.

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A'B'C' (g.g).

Tỉ số đồng dạng của hai tam giác là: $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{3}{5}$.

Ví dụ 2. Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và $\widehat{A}=45°,\widehat{B}=60°$. Tính các góc $\widehat{C},\widehat{M},\widehat{N},\widehat{P}$.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=75°$.

Do ∆ABC ᔕ ∆MNP nên: $\widehat{M}=\widehat{A}=45°$, $\widehat{N}=\widehat{B}=60°$, $\widehat{P}=\widehat{C}=75°$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình vẽ bên dưới, các đoạn thẳng AB // CD // EF. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. ∆ABO ᔕ ∆CDO;

B. ∆ABO ᔕ ∆EFO;

C. ∆ABO ᔕ ∆FEO;

D. ∆FEO ᔕ ∆CDO.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do AB // CD nên $\widehat{BAO}=\widehat{DCO},\widehat{ABO}=\widehat{CDO}$ (hai góc đồng vị).

Suy ra ∆ABO ᔕ ∆CDO (g.g).

Chứng minh tương tự: ∆ABO ᔕ ∆FEO.

Suy ra ∆FEO ᔕ ∆CDO.

Vậy đáp án B là đáp án sai.

Bài 2. Quan sát hình vẽ. Biết BC // DE, AB // EF. Khẳng định nào dưới đây là đúng.

A. ∆ADE = ∆EFC;

B. ∆ADE ᔕ ∆EFC;

C. ∆ADE ᔕ ∆BDF;

D. ∆ABE = ∆CBE.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hai tam giác ADE và EFC:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{DAE}=\widehat{FEC}\\ \widehat{AED}=\widehat{EFC}\end{array}\right.$

Do đó ∆ADE ᔕ ∆EFC (g.g)

Bài 3. Cho hình vẽ, khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ∆ABC ᔕ ∆DEF;

B. ∆ABC ᔕ ∆GKH;

C. ∆DEF = ∆GKH;

D. ∆DEF ᔕ ∆GKH.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Xét tam giác ABC có:

BC = 12, $AB=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$, $AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$.

+) Xét tam giác DEF có:

EF = 6, $DE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$, $DF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.

Suy ra $\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=2$.

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆DEF (c.c.c).

Bài 4. Cho hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây đúng

A. ∆ABC và ∆A¢B¢C¢ đồng dạng với tỉ số $\frac{1}{2}$.

B. ∆ABC và ∆A¢B¢C¢ đồng dạng với tỉ số $\frac{1}{3}$.

C. ∆ABC và ∆A¢B¢C¢ đồng dạng với tỉ số $\frac{2}{3}$.

D. Hai tam giác trên không đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC và ∆A'B'C', ta có:

$\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{2}{3}$

Suy ra ∆ABC và ∆A'B'C' đồng dạng với tỉ số $\frac{2}{3}$.

Bài 5. Quan sát hình vẽ, cho biết DC // MP, EF // MQ. Tam giác nào dưới đây đồng dạng với ∆EPF.

A. ∆DCQ;

B. ∆PEC;

C. ∆MCF;

D. ∆EDQ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆EPF và ∆DCQ có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{EPF}=\widehat{DCQ}\\ \widehat{EFP}=\widehat{DQC}\end{array}\right.$

Do đó ∆EPF ᔕ ∆DCQ (g.g).

Bài 6. Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, MN = 5. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. NP = 6; PM = 7.

B. NP = 6,25; PM = 7,5.

C. NP = 7,5; PM = 6,25.

D. NP = 7; PM = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do ∆ABC ᔕ ∆MNP nên ta có: $\frac{NP}{BC}=\frac{PM}{CA}=\frac{MN}{AB}=\frac{5}{4}$.

Suy ra: $NP=\frac{5}{4}BC=\mathrm{7,5}$; $\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}PM=\frac{5}{4}CA=\mathrm{6,25}$.

Bài 7. Cho biết ∆MNP ᔕ ∆DEF và ∆DEF ᔕ ∆ABC, biết $\widehat{M}=84°$. Số đo của $\widehat{A}$ là

A. 90°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 84°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do ∆MNP ᔕ ∆DEF và ∆DEF ᔕ ∆ABC nên ∆MNP ᔕ ∆ABC.

Suy ra $\widehat{A}=\widehat{M}=84°$.

Bài 8. Cho ∆ABC ᔕ ∆A'B'C', biết AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Cạnh lớn nhất của A'B'C' là 25 cm. Độ dài cạnh nhỏ nhất của ∆A'B'C' là

A. 15;

B. 20;

C. 25;

D. 24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do ∆ABC ᔕ ∆A'B'C' nên ta có các cặp cạnh tỉ lệ là AB và A'B', AC và A'C', BC và B'C'.

BC là cạnh có độ dài lớn nhất trong ∆ABC nên B'C' là cạnh có độ dài lớn nhất trong ∆A'B'C'.

Suy ra B'C' = 25 cm.

Ta có: $\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{25}{10}=\mathrm{2,5}$.

Suy ra A'B' = 2,5AB = 20cm, A'C' = 2,5AC = 15 (cm).

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Bài 9. Cho ∆ABC ᔕ ∆DEF, tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{3}$. Biết chu vi của ∆ABC là 12 cm. Chu vi của ∆DEF là

A. 12 cm;

B. 24 cm;

C. 36 cm;

D. 30 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do ∆ABC ᔕ ∆DEF với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{3}$.

Ta có: DE = 3AB, EF = 3BC, FD = 3CA.

Suy ra chu vi của ∆DEF là:

P = DE + EF + FD = 3AB + 3BC + 3CA

= 3.(AB + BC + CA) = 3.12 = 36 (cm).

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A và MNP cân tại M. Biết $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$, AB = 2MN. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. ∆ABC ᔕ ∆MNP, tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$.

B. ∆ABC ᔕ ∆MPN, tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$.

C. ∆ABC ᔕ ∆MNP, tỉ số đồng dạng bằng 2.

D. Hai tam giác đã cho không đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết: $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$.

Lại có ∆ABC và ∆MNP là hai tam giác cân tại các đỉnh A và M.

Suy ra số đo hai góc ở đáy của hai tam giác trên là bằng nhau.

Do đó ∆ABC ᔕ ∆MNP (g.g).

Mà AB = 2MN nên tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng 2.

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---