Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác.

1. Phương pháp giải

Ta có thể dựa vào tính chất ba đường cao, đường trung trực trong tam giác để giải quyết một số bài toán như sau:

+ Các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

+ Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

+ Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

Chú ý:

⦁Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.

⦁Trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Chứng minh rằng tam giác có hai đường cao (xuất phát từ hai đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆ABC có hai đường cao BE, CF và BE = CF. Ta cần chứng minh ∆ABC là tam giác cân.

Xét ∆CBE (vuông tại E) và ∆CBF(vuông tại F) có:

BC là cạnh chung;

BE = CF (giả thiết)

Suy ra ∆CBE = ∆BCF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{\mathrm{BCE}}=\widehat{\mathrm{CBF}}$ (hai góc tương ứng).

Vậy ∆ABC cân tại A.

Ví dụ 2.Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD;

b) Chứng minh ∆ABD và ∆CBD đều là tam giác vuông;

c) Biết $\widehat{\mathrm{ABC}}=70°.$ Hãy tính số đo $\widehat{\mathrm{ADC}}.$

Hướng dẫn giải:

a) Vì O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC nên OA = OB = OC.

Mà OD = OB (giả thiết) nên OD = OA và OD = OC.

Suy ra O thuộc đường trung trực của AD và CD.

b) Xét ∆OAB cân tại O

Suy ra $\widehat{\mathrm{OAB}}=\widehat{\mathrm{OBA}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{AOB}}}{2}$

Xét ∆OAD cân tại O

Suy ra $\widehat{\mathrm{OAD}}=\widehat{\mathrm{ODA}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{AOD}}}{2}$

Do đó $\widehat{\mathrm{OAB}}+\widehat{\mathrm{ODA}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{AOB}}}{2}+\frac{180°-\widehat{\mathrm{AOD}}}{2}$

$=\frac{360°-\left(\widehat{\mathrm{AOB}}+\widehat{\mathrm{AOD}}\right)}{2}=\frac{360°-180°}{2}=90°.$

Hay $\widehat{\mathrm{BAD}}=90°$ nên ∆ABD vuông tại A.

Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆CBD vuông tại C.

c) Ta có ∆ABD vuông tại A nên $\widehat{\mathrm{ADB}}=90°-\widehat{\mathrm{ABD}}$

Ta có ∆BCD vuông tại C nên $\widehat{\mathrm{BDC}}=90°-\widehat{\mathrm{CBD}}$

Suy ra $\widehat{\mathrm{ADB}}+\widehat{\mathrm{BDC}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{ABD}}+\widehat{\mathrm{CBD}}\right)$

Hay$\widehat{\mathrm{ADC}}=180°-\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-70°=110°.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C phân biệt không thẳng hàng có tâm là

A. giao của ba đường trung tuyến của ∆ABC;

B. giao của ba đường phân giác của ∆ABC;

C. giao của ba đường trung trực của ∆ABC;

D. giao của ba đường cao của ∆ABC.

Bài 2. Cho ∆ABC cân tại A. Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại K. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. KA < KB = KC;

B. KA > KB = KC;

C. KA = KB < KC;

D. KA = KB = KC.

Bài 3. Cho ∆ABC có $\hat{A}=70°,$ AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, kẻ BF ⊥ AC tại F, lấy điểm E thuộc AC sao cho AE = AB. Gọi H là giao điểm của AD và BF.

Cho các khẳng định sau:

(I) H là trực tâm của ∆ABE;

(II) $\widehat{\mathrm{FHD}}=160°$.

Chọn câu trả lời đúng nhất.

A. Chỉ (I) đúng;

B. Chỉ (II) đúng;

C. Cả (I), (II) đều đúng;

D. Cả (I), (II) đều sai.

Bài 4. Có một tấm gỗ hình tròn cần đục một lỗ tròn ở tâm. Tâm của tấm gỗ hình tròn là

A. Giao của hai đường trung trực;

B. Giao của hai đường phân giác;

C. Giao của hai đường trung tuyến;

D. Giao của hai đường cao.

Bài 5. Cho ∆ABC cân tại A, $\hat{A}>90°.$ Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC lần lượt tại D và E. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. OA là đường trung trực của BC;

B. ∆HBD = ∆KCE;

C. BD = DE = EC;

D. ∆ODE là tam giác cân.

Bài 6. Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết BC = 9 cm. Chu vi tam giác ADE bằng

A. 3 cm;

B. 4,5 cm;

C. 9 cm;

D. 18 cm.

Bài 7. Cho tam giác ABC có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại I. Biết rằng$\widehat{\mathrm{ACB}}=40°.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng nhất?

A. $\widehat{\mathrm{KBC}}=40°;$

B. CI ⊥ AB;

C. $\widehat{\mathrm{HIK}}=130°;$

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 8. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến các cửa hàng bằng nhau?

A. giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC;

B. giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B;

C. giao điểm của hai đường đường cao kẻ từ A và B;

D. giao điểm của hai đường trung tuyến kẻ từ A và B.

Bài 9. Cho ∆ABC có $\hat{A}=110°.$ Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F. Số đo góc EAF là

A. 45°;

B. 50°;

C. 40°;

D. 90°.

Bài 10. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB, AC lần lượt là đường trung trực của MD, ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

B. DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất;

C. AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết đường trung trực, đường cao của tam giác

• Xác định trực tâm của tam giác

• Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy

• Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---