Giải Toán 9 trang 24 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 9 trang 24 Tập 2 trong Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng Toán 9 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9 trang 24.

Luyện tập 3 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –11, tích của chúng bằng 28.

Lời giải:

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình x² + 11x + 28 = 0.

Ta có ∆ = 11² – 4.1.28 = 9 > 0 và $\sqrt{Δ} = \sqrt{9} = 3.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{- 11 + 3}{2 \cdot 1} = - 4,$ $x_{2} = \frac{- 11 - 3}{2 \cdot 1} = - 7.$

Vậy hai số cần tìm là –4 và –7.

Vận dụng trang 24 Toán 9 Tập 2: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là x₁; x₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là 40 : 2 = 20 (m), do đó x₁ + x₂ = 20.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 96 m², do đó x₁x₂ = 96.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 20x + 96 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)² – 1.96 = 4 > 0 và $\sqrt{Δ} = \sqrt{4} = 2.$

Do đó phương trình có hai nghiệm là: $x_{1} = \frac{10 + 2}{1} = 12;$ $x_{2} = \frac{10 - 2}{1} = 8.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là 12 (m) và 8 (m) (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài 6.23 trang 24 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

а) x² – 12x + 8 = 0;

b) 2x² + 11x – 5 =0;

c) 3x² – 10 = 0;

d) x² – x + 3 = 0.

Lời giải:

a) x² – 12x + 8 = 0.

Ta có: ∆’ = (–6)² – 1.8 = 28 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = 12; x₁x₂ = 8.

b) 2x² + 11x – 5 =0.

Ta có: ∆ = 11² – 4.2.(–5) = 161 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{11}{2}; x_{1} x_{2} = \frac{- 5}{2} .$

c) 3x² – 10 = 0.

Ta có: ∆’ = 0² – 3.(–10) = 30 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{0}{3} = 0;$ $x_{1} x_{2} = \frac{- 10}{3} .$

d) x² – x + 3 = 0.

Ta có: ∆ = (–1)² – 4.1.3 = –11 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 6.24 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

а) 2x² – 9x + 7 = 0;

b) 3x² + 11x + 8 = 0;

c) 7x² – 15x + 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm x₁ = 2.

Lời giải:

a) Ta có: a + b + c = 2 + (–9) + 7 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁= 1; $x_{2} = \frac{7}{2} .$

b) Ta có: a – b + c = 3 – 11 + 8 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: x₁= –1; $x_{2} = \frac{- 8}{3} .$

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $x_{1} x_{2} = \frac{2}{7} .$

Do đó $x_{2} = \frac{2}{7} : x_{1} = \frac{2}{7} : 2 = \frac{1}{7} .$

Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 2 và $x_{2} = \frac{1}{7} .$

Bài 6.25 trang 24 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 20, uv = 99;

b) u + v = 2, uv = 15.

Lời giải:

a) Vì u + v = 20, uv = 99 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 20x + 99 = 0.

Ta có ∆’ = (–10)² – 1.99 = 1 > 0 và $\sqrt{Δ^{'}} = 1.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{10 + 1}{1} = 11;$ $x_{2} = \frac{10 - 1}{1} = 9.$

Vậy u = 11; v = 9 hoặc u = 9; v = 11.

b) Vì u + v = 2, uv = 15 nên u và v là hai nghiệm của phương trình x² – 2x + 15 = 0.

Ta có ∆’ = (–1)² – 1.15 = –14 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.

Vậy không có số u và v nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 6.26 trang 24 Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18;

b) 3x² + 5x – 2.

Lời giải:

⦁ Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

Suy ra b = –a(x₁ + x₂) và c = ax₁x₂.

Do đó:

ax² + bx + c = ax² – a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂

= ax² – ax₁x – ax₂x + ax₁x₂

= ax(x – x₁) – ax₂(x – x₁)

= a(x – x₁)(x – x₂).

Vậy nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm là x₁ và x₂ thì đa thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử là: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

⦁ Áp dụng: Phân tích các đa thức thành nhân tử:

a) x² + 11x + 18.

Phương trình x² + 11x + 18 = 0 có ∆ = 11² – 4.1.18 = 49 > 0 và $\sqrt{Δ} = \sqrt{49} = 7.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \frac{- 11 + 7}{2 \cdot 1} = - 2;$ $x_{2} = \frac{- 11 - 7}{2 \cdot 1} = - 9.$

Vậy đa thức x² + 11x + 18 phân tích được thành nhân tử như sau:

x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9).

b) 3x² + 5x – 2.

Phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–2) = 49 > 0 và $\sqrt{Δ} = \sqrt{49} = 7.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};$ $x_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 3} = - 2.$

Vậy đa thức 3x² + 5x – 2 phân tích được thành nhân tử như sau:

$3 x^{2} + 5 x - 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x + 2) .$

Bài 6.27 trang 24 Toán 9 Tập 2: Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích 300 m² và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Lời giải:

Gọi hai kích thước của bể bơi hình chữ nhật là x₁; x₂ (m).

Ta có nửa chu vi và diện tích bể bơi hình chữ nhật lần lượt là x₁ + x₂ (m) và x₁x₂ (m²).

Theo bài, bể bơi hình chữ nhật có chu vi 74 m nên nửa chu vi bể bơi hình chữ nhật là 74 : 2 = 37 (m), do đó x₁ + x₂ = 37.

Diện tích bể bơi hình chữ nhật là 300 m², do đó x₁x₂ = 300.

Khi đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² – 37x + 300 = 0.

Ta có ∆ = (–37)² – 4.1.300 = 169 > 0 và $\sqrt{Δ} = \sqrt{169} = 13.$

Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{37 + 13}{2 \cdot 1} = 25;$ $x_{2} = \frac{37 - 13}{2 \cdot 1} = 12.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của bể bơi lần lượt là 25 m và 12 m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác