Giải Toán 8 trang 121 Tập 1 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 8 trang 121 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 Toán 8 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 dễ dàng làm bài tập Toán 8 trang 121.

Bài 7 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\hat{D A B} = \hat{B C D}, \hat{A B D} = \hat{C D B}$ . Chứng minh ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Bài 7 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

Ta có $\hat{A B D} = \hat{C D B}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Từ AB // CD, suy ra $\{\begin{cases} \hat{C D A} + \hat{D A B} = 180 ° \\ \hat{A B C} + \hat{B C D} = 180 ° \end{cases}$ (các cặp góc trong cùng phía)

Lại có $\hat{D A B} = \hat{B C D}$ nên $\hat{C D A} = \hat{A B C}$ .

Xét tứ giác ABCD có $\hat{D A B} = \hat{B C D}$ (giả thiết) và $\hat{C D A} = \hat{A B C}$ (chứng minh trên)

Suy ra ABCD là hình bình hành (các cặp góc đối bằng nhau).

Bài 8 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Lời giải:

Bài 8 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

• Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.

Vì M là trung điểm của AB nên $M A = M B = \frac{1}{2} A B$ ;

N là trung điểm của CD nên $P C = P D = \frac{1}{2} C D$

Do đó MA = MB = PC = PD.

Tương tự ta cũng có QA = QD = NB = NC.

• Xét ΔAMQ và ΔBMN có:

$\hat{M A Q} = \hat{M B N} = 90 °$ (do ABCD là hình chữ nhật);

MA = MB (chứng minh trên);

QA = NB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBMN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MQ = MN (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

+) ΔBMN = ΔCPN (hai cạnh góc vuông)

Suy ra MN = PN (hai cạnh tương ứng) (2)

+) ΔCPN = ΔDPQ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra PN = PQ (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = PN = PQ = MQ.

• Tứ giác MNPQ có MN = PN = PQ = MQ nên là hình thoi.

Bài 9 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, G sao cho AD = CG < AC. Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AB). Chứng minh tứ giác CDEG là hình chữ nhật.

Lời giải:

Bài 9 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

Vì ΔABC vuông cân tại C (giả thiết) nên $\hat{A} = \hat{B} = 45 °$ .

Xét ΔADE vuông tại D (do DE ⊥ AC) có:

$\hat{D A E} + \hat{D E A} = 90 °$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\hat{D E A} = 90 ° - \hat{D A E} = 90 ° - 45 ° = 45 °$

ΔADE vuông tại D có $\hat{D A E} = \hat{D E A}$ (cùng bằng 45°) nên là tam giác vuông cân tại D

Do đó AD = ED.

Mà AD = CG nên ED = CG.

Xét tứ giác CDEG có:

• ED = CG (chứng minh trên);

• ED // CG (do cùng vuông góc với AC)

Do đó CDEG là hình bình hành

Lại có $\hat{C D E} = 90 °$

Suy ra CDEG là hình chữ nhật.

Bài 10 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

Bài 10 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

• Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

• Xét ΔAMQ và ΔBNM có:

$\hat{M A Q} = \hat{N B M} = 90 °$ ;

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

• Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Do ΔAMQ = ΔBNM (chứng minh trên) nên $\hat{A M Q} = \hat{B N M}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{B N M} + \hat{B M N} = 90 °$ (do ΔBMN vuông tại B)

Suy ra $\hat{A M Q} + \hat{B M N} = 90 °$

Lại có $\hat{A M Q} + \hat{Q M N} + \hat{B M N} = 180 °$

Suy ra $\hat{Q M N} = 180 ° - (\hat{A M Q} + \hat{B M N}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ .

• Hình thoi MNPQ có $\hat{Q M N} = 90 °$ nên là hình vuông.

Bài 11 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM = ΔICN;

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành;

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Lời giải:

Bài 11 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Suy ra $\hat{A M N} = \hat{C N M}$ và $\hat{M A C} = \hat{N C M}$ (các cặp góc so le trong)

Xét ΔIAM và ΔICN có:

$\hat{A M I} = \hat{C N I}$ (do $\hat{A M N} = \hat{C N M}$ );

AM = CN (giả thiết);

$\hat{M A I} = \hat{N C I}$ (do $\hat{M A C} = \hat{N C M}$ )

Do đó ΔIAM = ΔICN (g.c.g)

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN (giả thiết) và AM // CN (do AB // CD)

Suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Do AMCN là hình bình hành nên hai đường chéo AC, MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD.

Do đó ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) $O D = \frac{1}{2} C M$ và tam giác ACM là tam giác vuông;

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

Lời giải:

Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $O D = \frac{1}{2} B D$ .

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó $O D = \frac{1}{2} C M$ .

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

AC ⊥ BD (chứng minh trên)

Do đó CM ⊥ AC hay $\hat{M C A} = 90 °$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Ta có: BD // CM (chứng minh câu a) nên:

• $\hat{B D C} = \hat{D C M}$ (so le trong); (1)

• $\hat{A D B} = \hat{D M C}$ (đồng vị) (2)

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc ADC

Do đó $\hat{A D B} = \hat{B D C}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{D C M} = \hat{D M C}$ .

Xét ΔDCM có $\hat{D C M} = \hat{D M C}$ nên là tam giác cân tại D.

Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

b) $\hat{B A O} = \hat{M B O}$ ;

c) AM ⊥ BN.

Lời giải:

Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1 Cánh diều | Giải Toán 8

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì M là trung điểm của BC nên $M B = M C = \frac{1}{2} B C$ ;

N là trung điểm của CD nên $N C = N D = \frac{1}{2} C D$ .

Do đó MB = MC = NC = ND.

Xét ΔABM và ΔBCN có:

$\hat{A B M} = \hat{B C N} = 90 °$ (do ABCD là hình vuông);

AB = CD (chứng minh trên);

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó ΔABM = ΔBCN (hai cạnh góc vuông).

b) Vì ΔABM = ΔBCN (câu a) nên $\hat{B A M} = \hat{C B N}$ (hai góc tương ứng).

Hay $\hat{B A O} = \hat{M B O}$ .

c) Xét ΔABM vuông tại B có $\hat{B A O} + \hat{B M O} = 90 °$

Mà $\hat{B A O} = \hat{M B O}$ (câu b) nên $\hat{M B O} + \hat{B M O} = 90 °$ .

Xét ΔMBO có $\hat{M B O} + \hat{B M O} + \hat{B O M} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\hat{B O M} = 180 ° - (\hat{M B O} + \hat{B M O}) = 180 ° - 90 ° = 90 °$ .

Do đó OM ⊥ BO hay AM ⊥ BN.

Lời giải bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Giải Toán 8 trang 120

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác