Giải Toán 12 trang 13 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 13 Tập 2 trong Bài 12: Tích phân Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 13.

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2: Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Kí hiệu A(1; 0), B(4; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 4; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(4; 5), D(1; 2).

Ta có: AD = 2; BC = 5; AB = 3.

Khi đó diện tích hình thang T là $S = \frac{(A D + B C) . A B}{2} = \frac{(2 + 5) .3}{2} = \frac{21}{2}$ .

HĐ1 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Gọi A(1; 0), B(t; 0), t ∈ [1; 4] và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = t; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(t; t + 1); D(1; 2).

Do đó AB = t – 1; AD = 2; BC = t + 1.

Khi đó diện tích hình thang ABCD là

$S (t) = \frac{(A D + B C) . A B}{2} = \frac{(t + 3) . (t - 1)}{2} = \frac{t^{2} + 2 t - 3}{2} .$

c) Có $S (t) = \frac{t^{2} + 2 t - 3}{2}$ $\Rightarrow S^{'} (t) = {(\frac{t^{2} + 2 t - 3}{2})}^{'} = \frac{2 (t + 1)}{2} = t + 1 = f (t)$

Do đó S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4].

Có $S (4) = \frac{4^{2} + 2.4 - 3}{2} = \frac{21}{2}; S (1) = \frac{1^{2} + 2.1 - 3}{2} = 0$

Do đó S(4) – S(1) = S.

HĐ2 trang 13 Toán 12 Tập 2: Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) – S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2}$

b) Cho h < 0 sao cho x + h > 1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) – S(x + h) và từ đó suy ra $2 x h + h^{2} \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 0$

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h ≠ 0, ta có $|\frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2}| \leq 2 x |h| + h^{2}$ .

Từ đó chứng minh S'(x) = x², x ∈ (1; 2).

Người ta chứng minh được S'(1) = 1, S'(2) = 4, tức là S(x) là một nguyên hàm của x² trên [1; 2].

d) Từ kết quả của phần c, ta có $S (x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x² trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).

HĐ2 trang 13 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

a) Với h > 0, x + h < 2, kí hiệu S_MNPQ và S_MNEF lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có: S_MNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ S_MNEF

hay hx² ≤ S(x + h) – S(x) ≤ h(x + h)².

Suy ra $0 \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 2 x h + h^{2}$

b) Với h < 0 và x + h > 1, kí hiệu S_MNPQ và S_MNEF lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có S_MNPQ ≤ S(x + h) – S(x) ≤ S_MNEF

hay h(x+h)² ≤ S(x + h) – S(x) ≤ hx².

Suy ra $2 x h + h^{2} \leq \frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2} \leq 0$

c) Dựa vào kết quả của câu a, b ta suy ra với mọi h ≠ 0, ta có:

$|\frac{S (x + h) - S (x)}{h} - x^{2}| \leq 2 x |h| + h^{2}$

Suy ra $S^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{S (x + h) - S (x)}{h} = x^{2}, \forall x \in (1; 2)$

d) Vì S(1) = 0 nên $S (1) = \frac{1^{3}}{3} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3}$

Vậy $S (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Ta có $S = S (2) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Giả sử $F (x) = \frac{x^{3}}{3}$ là một nguyên hàm của f(x) = x² trên [1; 2].

Khi đó $F (1) = \frac{1}{3}; F (2) = \frac{8}{3}$ . Ta thấy $F (2) - F (1) = \frac{7}{3} = S$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 12: Tích phân hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác