Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Lời giải:

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $O A = O B = O C = O D = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên $S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} .$

Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), $A (- \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0), C (\frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0), B (0; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0), D (0; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0)$ và $S (0; 0; \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}})$

Ta có $\vec{S C} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}})$ , $\vec{D C} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0)$ , $\vec{B C} = (\frac{a \sqrt{2}}{2}; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0)$

Có $[\vec{S C}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{D C}] =$ $(|\begin{matrix} 0 & - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} \\ - 1 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} & \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a \sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|)$

$= (- \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \frac{a \sqrt{2}}{2})$

$[\vec{S C}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{B C}]$

$= (|\begin{matrix} 0 & - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} \\ 1 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}} & \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a \sqrt{2}}{2} & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}|)$

$= (\sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; - \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}; \frac{a \sqrt{2}}{2})$

Ta có mặt phẳng (SCD) nhận $\vec{n_{1}} = [\vec{S C}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{D C}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\vec{n_{2}} = [\vec{S C}, \frac{\sqrt{2}}{a} \vec{B C}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vì $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} = - (\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}) + (\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{2} = - \frac{a^{2}}{2} \neq 0$

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác