Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 500 cm3 với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.

Chiều cao hộp phải là 2 cm, các kích thước khác là x, y với x > 0 và y > 0.

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

a) Hãy biểu thị y theo x.

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

$S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ .

c) Lập bảng biến thiên của hàm số S(x) trên khoảng (0; + ∞).

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật cần chế tạo là: V = 2xy (cm³).

Theo bài ra ta có V = 500 cm³, khi đó 2xy = 500, suy ra y = $\frac{250}{x}$ .

b) Diện tích xung quanh của chiếc hộp là

S_xq = 2(x + y) ∙ 2 = 4(x + y) (cm²).

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là

S_tp = S_xq + 2S_đ = 4(x + y) + 2xy (cm²)

Lại có y = $\frac{250}{x}$ nên S_tp = $4 (x + \frac{250}{x}) + 2 x \cdot \frac{250}{x} = 4 x + \frac{1000}{x} + 500$ .

Vậy diện tích toàn phần của chiếc hộp là $S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ .

c) Xét hàm số $S (x) = 500 + 4 x + \frac{1000}{x}$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có S'(x) = 4 – $\frac{1000}{x^{2}}$ ;

Trên khoảng (0; + ∞), S'(x) = 0 khi x = $5 \sqrt{10}$ .

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} S (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (500 + 4 x + \frac{1000}{x}) = + \infty$ ;

$\lim_{x \to + \infty} S (x) = \lim_{x \to + \infty} (500 + 4 x + \frac{1000}{x}) = + \infty$

Bảng biến thiên:

Thực hành 5 trang 35 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

d) Để dùng ít vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của chiếc hộp phải nhỏ nhất.

Căn cứ vào bảng biến thiên ở câu c), ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng $500 + \frac{200 \sqrt{10}}{5}$ tại x = $5 \sqrt{10}$ .

Với x = $5 \sqrt{10}$ , ta có y = $\frac{250}{5 \sqrt{10}} = 5 \sqrt{10}$ .

Vậy kích thước 3 cạnh của chiếc hộp là 2 cm, $5 \sqrt{10}$ cm, $5 \sqrt{10}$ cm thì dùng ít vật liệu nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Giải bài tập lớp 12 Chân trời sáng tạo khác