Phương trình mặt cầu (Lý thuyết Toán lớp 12) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Lý thuyết Phương trình mặt cầu

A. Lý thuyết

1. Phương trình mặt cầu trong không gian

• Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm I và số dương R. Mặt cầu tâm I, bán kính R, kí hiệu S(I; R), là tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn IM = R. Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm I gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu S(I; R).

Nếu IM = R thì M nằm trên mặt cầu.

Nếu IM < R thì M nằm trong mặt cầu.

Nếu IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu.

• Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Ví dụ 1. a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7.

b) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x + 1)² + y² + (z – 3)² = 16.

Hướng dẫn giải

a) Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 7 có phương trình:

(x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 49.

b) Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 3) và R = 4.

Nhận xét: Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Ví dụ 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0.

b) x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình x² + y² + z² – 2y + 2z – 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 0; b = 1; c = −1; d = −7.

Ta có a² + b² + c² – d = 9 > 0.

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(0; 1; −1) và R = 3.

b) Phương trình x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z + 7 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 1; b = −2; c = −1; d = 7.

Có a² + b² + c² – d = −1 < 0.

Suy ra phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Bài tập Phương trình mặt cầu

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + (z – 2)² = 16. Bán kính của mặt cầu (S) bằng

A. 32.

B. 8.

C. 4.

D. 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có bán kính là R = 4.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

A. I(−4; 1; 0), R = 2.

B. I(−4; 1; 0), R = 4.

C. I(4; −1; 0), R = 2.

D. I(4; −1; 0), R = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 4; b = −1; c = 0; d = 1.

Do đó mặt cầu có tâm I(4; −1; 0) và $R=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-1}=4$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S):

a) có tâm I(0; 0; −3) và bán kính bằng 5.

b) có tâm I(1; 1; 1) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

c) có đường kính AB biết A(1; −2; 7) và B(−3; 8; −1).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + (z + 3)² = 25.

b) Vì mặt cầu (S) đi qua A nên $R=IA=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5.

c) Có I(−1; 3; 3) là trung điểm của AB và cũng là tâm của mặt cầu đường kính AB.

Có $R=IA=\sqrt{{\left(1+1\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2}=\sqrt{45}$.

Phương trình mặt cầu (S): (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 3)² = 45.

Bài 4. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

Hướng dẫn giải

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 nên $R=d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|75\right|}{\sqrt{{16}^2+{\left(-15\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}}=3$.

Phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² = 9.

Bài 5. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Vinaphone được đặt ở vị trí I(1; −2; −3) và được thiết kế bán kính phủ sóng là 5000 m.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian.

b) Nhà bạn Minh và Hiền có vị trí tọa độ lần lượt là M(1; 2; 0) và N(−3; 1; 0). Hỏi bạn Minh và Hiền dùng điện thoại tại nhà thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không?

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25.

b) Có $IM=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2+2\right)}^2+{\left(0+3\right)}^2}=5=R$.

Suy ra điểm M nằm trên mặt cầu. Do đó bạn Minh có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Có $IN=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(1+2\right)}^2+{\left(0+3\right)}^2}=\sqrt{34}>R$.

Suy ra điểm N nằm ngoài mặt cầu. Do đó bạn Hiền không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

Học tốt Phương trình mặt cầu

Các bài học để học tốt Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 5

• Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---