Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}; \vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C}$ ;

b) Các góc $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}); (\vec{A D^{'}}, \vec{B D})$ .

Lời giải:

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

• Ta có: $\vec{A^{'} B} = \vec{D^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = (\vec{D^{'} C}, \vec{D^{'} C^{'}}) = \hat{C D^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C D^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A^{'} B}| = A^{'} B$ = $\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A B^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{D^{'} C^{'}}| = D^{'} C^{'} = a$ .

Do đó, $\vec{A^{'} B} \cdot \vec{D^{'} C^{'}}$ = $|\vec{A^{'} B}| \cdot |\vec{D^{'} C^{'}}| \cdot \cos (\vec{A^{'} B}, \vec{D^{'} C^{'}})$ = $a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

• Ta có $\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = - \vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C}$ .

Ta có: $\vec{A D^{'}} = \vec{B C^{'}}$ . Do đó, $(\vec{A D^{'}}, \vec{B C}) = (\vec{B C^{'}}, \vec{B C}) = \hat{C^{'} B C}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C^{'} B C} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A D^{'}}, \vec{B C}) = 45 °$ .

Ta có $|\vec{A D^{'}}| = A D^{'}$ = $\sqrt{D {D^{'}}^{2} + D A^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ , $|\vec{B C}| = B C = a$ .

Do đó, $\vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C}$ = $|\vec{A D^{'}}| \cdot |\vec{B C}| \cdot \cos (\vec{A D^{'}}, \vec{B C})$ = $a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45 ° = a^{2}$ .

Vậy $\vec{D^{'} A} \cdot \vec{B C} = - \vec{A D^{'}} \cdot \vec{B C} = - a^{2}$ .

Bài 3 trang 63 Toán 12 Cánh diều Tập 1 | Giải Toán 12

Ta có: $\vec{A^{'} D} = \vec{B^{'} C}$ . Do đó, $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = (\vec{B^{'} C}, \vec{B^{'} C^{'}}) = \hat{C B^{'} C^{'}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\hat{C B^{'} C^{'}} = 45 °$ . Vậy $(\vec{A^{'} D}, \vec{B^{'} C^{'}}) = 45 °$ .

Ta có: $\vec{A D^{'}} = \vec{B C^{'}}$ . Do đó, $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = (\vec{B C^{'}}, \vec{B D}) = \hat{C^{'} B D}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a \sqrt{2}$ nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\hat{C^{'} B D} = 60 °$ .

Vậy $(\vec{A D^{'}}, \vec{B D}) = 60 °$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Cánh diều khác