Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 11 trang 48 Tập 1 trong Bài 1: Dãy số Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 48.

Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

b) So sánh b_n và b_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

a) Ta có: a_n = 3n + 1, a_{n + 1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay a_{n + 1} > a_n.

b) Ta có: b_n = – 5n, b_{n + 1} = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ^* nên – 5n – 5 < – 5n hay b_{n – 1}< b_n.

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 1}$ ;

b) (x_n) với $x_{n} = \frac{n + 2}{4^{n}}$ ;

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Lời giải:

a) Ta có: (u_n) với $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 1}{(n + 1) + 1} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} - \frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 n^{2} + 3 n + 1 - 2 n^{2} - 3 n + 2}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{3}{(n + 2) (n + 1)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: $x_{n + 1} = \frac{(n + 1) + 2}{4^{n + 1}} = \frac{n + 3}{{4.4}^{n}}$

Xét hiệu $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{n + 3}{{4.4}^{n}} - \frac{n + 1}{4^{n}} = \frac{n + 3}{{4.4}^{n}} - \frac{4 n + 4}{{4.4}^{n}} = \frac{- 3 n - 1}{{4.4}^{n}} < 0, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác