Giải Toán 10 trang 44 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 44 Tập 1 trong Bài tập cuối chương III Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 44.

Bài 3.12 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={135}^0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{1}{2}ca.$           

B. $S=\frac{-\sqrt{2}}{4}ac.$  

C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc.$

D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca.$

b)

A. $R=\frac{a}{\sin A}.$

B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b.$

C. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c.$

D. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}.$

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}.$

D. b² = c² + a² – 2ca.cos135⁰.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}.a.c.\sin B=\frac{1}{2}a.c.\sin {135}^0=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ (định lí sin)

$\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2\sin {135}^0}=\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b.$

Chọn B.

c) Theo định lí cos, ta có:

b² = a² + c² – 2ac.cosB = a² + c² – 2ac.cos135⁰.

Chọn D.

Bài 3.13 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a)

A. $S=\frac{abc}{4r}.$

B. $r=\frac{2S}{a+b+c}.$

C. a² = b² + c² + 2bc.cosA.

D. S = r(a + b + c).

b)

A. sinA = sin(B + C).

B. cosA = cos(B + C).

C. cosA > 0.

D. sinA ≤ 0

Lời giải:

a) Ta có:

$S=pr=\frac{abc}{4R}=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}$.

Do đó A,D sai.

Theo định lí cos, ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA. Do đó C sai.

Ta có:

$S=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}$.

Do đó B đúng.

Chọn B

b) Ta có: 

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0\Rightarrow \widehat{A}={180}^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\sin \widehat{A}=\sin \left[{180}^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)\right]=\sin \left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$. Do đó A đúng.

$co\mathrm{s}\widehat{A}=co\mathrm{s}\left[{180}^0-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)\right]=-co\mathrm{s}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$. Do đó B sai.

Ta có: cosA > 0 khi 0⁰ < $\widehat{A}$ < 90⁰, mà góc A có thể là góc tù hay $\widehat{A}>90°$. Do đó C sai.

Trong một tam giác, ta có: $0^0\le \widehat{A}\le {180}^0$ ⇒ sin A > 0. Do đó D sai.

Chọn A

Bài 3.14 trang 44 Toán 10 Tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰;

b) $\text{}N=\sin {60}^0.cos{30}^0+\frac{1}{2}\sin {45}^0.cos{45}^0$;

c) P = 1 + tan²60⁰;

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^{2}120°}-{\cot }^{2}120°.$

Lời giải:

a) M = sin45⁰.cos45⁰ + sin30⁰

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

b) 

$\text{}N=\sin {60}^0.cos{30}^0+\frac{1}{2}\sin {45}^0.cos{45}^0$

= $\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$

c) P = 1 + tan²60⁰

$=1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1+3=4$

d) $Q=\frac{1}{{\sin }^{2}120°}-{\cot }^{2}120°.$       

Cách 1: Ta có $\frac{1}{{\sin }^{2}120°}=1+{\cot }^{2}120°$

Do đó $Q=\left(1+{\cot }^{2}120°\right)-{\cot }^{2}120°$ = 1.

Cách 2: $\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cot 120°=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Thay vào Q, ta được:

Q $=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}-{\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}^2$ $=\frac{1}{\frac{3}{4}}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1$.

Bài 3.15 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={60}^0,\widehat{C}={45}^0,$ AC = 10. Tính a, R, S, r.

Lời giải:

Xét ΔABC, có:

Ta có: 

$\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}=$180⁰ – 60⁰ –  45⁰ = 75⁰

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ (định lí sin)

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.b.a.\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.10.11},15.\sin {45}^0$ ≈ 39,42 (đvdt)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=\frac{20}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow c=\frac{20}{\sqrt{3}}\sin C=\frac{20}{\sqrt{3}}.\sin {45}^0=\frac{10\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

Ta có:

Vậy a = 11,15; $R=\frac{10}{\sqrt{3}},c=\frac{10\sqrt{6}}{3},$ r = 2,69.

Bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0;$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$;

c) $M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$

Ta có: $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={180}^0$

$\widehat{AMC}={180}^0-\widehat{AMB}$

$cos\widehat{AMB}=-cos\left({180}^0-\widehat{AMB}\right)=-cos\widehat{AMC}$

$\Rightarrow cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}$

$=-cos\widehat{AMC}+cos\widehat{AMC}=0$

b) Xét ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$(1)

Xét ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$ (2)

c) Cộng vế với vế của (1) với (2), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ + 2MA.MC.cos$\widehat{AMC}$ 

$\iff 2M{A}^2+\frac{B{C}^2}{4}–A{B}^2+\frac{B{C}^2}{4}–A{C}^2$

$=2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMB} +2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMC}$

(Vì $MB=MC=\frac{BC}{2}$)

$\iff M{A}^2=\frac{2\left(A{B}^2+A{C}^2\right)-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Bài 3.17 trang 44 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc A nhọn thì b² + c² > a²;

b) Nếu góc A tù thì b² + c² < a²;

c) Nếu góc A vuông thì b² + c² = a².

Lời giải:

Xét ΔABC, có:

Theo định lí cos, ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

a) Nếu góc A nhọn thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA > 0 ⇒ - 2bccosA < 0

Do đó: a² = b² + c² – 2bc.cosA < b² + c²

Vậy b² + c² > a²

b) Nếu góc A tù thì cosA > 0 ⇒ 2bccosA < 0 ⇒ - 2bccosA > 0

Do đó: a² = b² + c² – 2bc.cosA > b² + c²

Vậy b² + c² < a².

c) Nếu góc A vuông thì cosA = 0 ⇒ 2bccosA = 0

Do đó: a² = b² + c² – 2bc.cosA = b² + c²

Vậy b² + c² = a².

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương III hay khác:

• Giải Toán 10 trang 45

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 7: Các khái niệm mở đầu

• Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---