Giải Toán 10 trang 33 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 33 Tập 2 trong Bài 3: Nhị thức Newton Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 33.

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2: Ở Trung học cơ sở, ta quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)⁴ = [(a + b)²]² = [a² + 2ab + b²]² = [(a² + b²) + 2ab]²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2(a² + b²).2ab + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2a³b + 2ab³ + 4a²b²

= a⁴ + 2a³b + 6a²b² + 2ab³ + b⁴.

(a + b)⁵ = (a + b)³(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³+ 5ab⁴ + b⁵

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)ⁿ = $C_{n}^{0} a^{n} . b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} . b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} . b^{2} + ... + C_{n}^{n} a^{0} . b^{n}$ .

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_{3}^{0}; C_{3}^{1}; C_{3}^{2}; C_{3}^{3}$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

Xét công thức khai triển (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Tính giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ , rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy $C_{3}^{0}; C_{3}^{1}; C_{3}^{2}; C_{3}^{3}$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: $C_{3}^{0} = 1$ , $C_{3}^{1} = 3$ , $C_{3}^{2} = 3$ , $C_{3}^{3} = 1$ .

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng mát tính, giá trị của $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ lần lượt là:

$C_{4}^{0} = 1, C_{4}^{1} = 4, C_{4}^{2} = 6, C_{4}^{3} = 4, C_{4}^{4} = 1$ .

Khi đó ta thấy $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_{4}^{0}, C_{4}^{1}, C_{4}^{2}, C_{4}^{3}, C_{4}^{4}$ , ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ = $C_{4}^{0}$ a⁴ + $C_{4}^{1}$ a³b + $C_{4}^{2}$ a²b² + $C_{4}^{3}$ ab³ + $C_{4}^{4}$ b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ = $C_{5}^{0}$ a⁵b⁰ + $C_{5}^{1}$ a⁴b¹ + $C_{5}^{2}$ a³b² + $C_{5}^{3}$ a²b³ + $C_{5}^{4}$ ab⁴ + $C_{5}^{5}$ b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Nhị thức Newton Chân trời sáng tạo hay khác:

Giải Toán 10 trang 35 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác