Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 10 trang 61 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 3 Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 61.

Bài 5 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x² – 3x – 4; 

b) y = x² + 2x + 1; 

c) y = – x² + 2x – 2. 

Lời giải:

a) y = x² – 3x – 4

Ta có: hệ số a = 1 > 0, b = – 3, c = – 4, ∆ = (– 3)² – 4 . 1 . (– 4) = 25 > 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên.

- Tọa độ đỉnh I $\left(\frac{3}{2};\frac{-25}{4}\right)$.

- Trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$.

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 4).

- Giao với trục hoành tại các điểm B(– 1; 0) và C(4; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; – 4) qua trục đối xứng $x=\frac{3}{2}$ là điểm D(3; – 4).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị của hàm số y = x² – 3x – 4 như hình dưới. 

b) y = x² + 2x + 1

Ta có hệ số a = 1 > 0, b = 2, c = 1, ∆ = 2² – 4 . 1 . 1 = 0.

- Parabol có bề lõm hướng lên trên. 

- Tọa độ đỉnh I(– 1; 0). 

- Trục đối xứng x = – 1. 

- Giao của parabol với trục tung A(0; 1).

- Giao của parabol với trục hoành chính là đỉnh I(– 1; 0).

- Điểm đối xứng với điểm A(0; 1) qua trục đối xứng x = – 1 là điểm B(– 2; 1). 

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = x² + 2x + 1 như hình dưới. 

c) y = – x² + 2x – 2

Ta có hệ số a = – 1 < 0, b = 2, c = – 2 và ∆ = 2² – 4 . (– 1) . (– 2) = – 4. 

- Đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới. 

- Tọa độ đỉnh I(1; – 1).

- Trục đối xứng x = 1.

- Giao của parabol với trục tung là A(0; – 2). Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = 1 là B(2; – 2).

- Parabol không cắt trục hoành.

- Lấy điểm C(3; – 5) thuộc đồ thị hàm số, ta có điểm đối xứng với điểm C qua trục x = 1 là điểm D(– 1; – 5).

Vẽ đồ thị đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = – x² + 2x – 2 như hình vẽ dưới. 

Bài 6 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 3x² + 4x – 1; 

b) f(x) = x² – x – 12; 

c) f(x) = 16x² + 24x + 9. 

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 4x – 1 có hệ số a = – 3 < 0, b = 4, c = – 1 và ∆ = 4² – 4 . (– 3) . (– 1) = 4 > 0. 

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{3}$ và x₂ = 1. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu như sau: 

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 12 có hệ số a = 1 > 0, b = – 1, c = – 12 và ∆ = (– 1)² – 4 . 1 . (– 12) = 49 > 0. 

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 3 và x₂ = 4.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta lập được bảng xét dấu sau:

c) Tam thức bậc hai f(x) = 16x² + 24x + 9 có hệ số a = 16 > 0, b = 24, c = 9, ∆ = 24² – 4 . 16 . 9 = 0.

Do đó tam thức bậc hai có nghiệm kép x = $-\frac{3}{4}$. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau: 

Bài 7 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0; 

b) – 3x² + x + 1 > 0; 

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0; 

d) – 16x² + 8x – 1 < 0; 

e) 2x² + x + 3 < 0; 

g) – 3x² + 4x – 5 < 0. 

Lời giải:

a) 2x² + 3x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 2x² + 3x + 1 có ∆ = 3² – 4 . 2 . 1 = 1 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm x₁ = – 1, x₂ = $-\frac{1}{2}$ và có hệ số a = 2 > 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² + 3x + 1 không âm là $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² + 3x + 1 ≥ 0 là $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

b) – 3x² + x + 1 > 0

Tam thức bậc hai – 3x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . (– 3) . 1 = 13 > 0 nên tam thức này có hai nghiệm $x_1=\frac{1-\sqrt{13}}{6},x_2=\frac{1+\sqrt{13}}{6}$ và hệ số a = – 3 < 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 3x² + x + 1 mang dấu “+” là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + x + 1 là $\left(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)$.

c) 4x² + 4x + 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai 4x² + 4x + 1 có ∆ = 4² – 4 . 4 . 1 = 0 nên tam thức này có nghiệm kép là x = $-\frac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 4x² + 4x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{2}\right\}$ và 4x² + 4x + 1 = 0 tại x = $-\frac{1}{2}$.

Do đó bất phương trình 4x² + 4x + 1 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ.

d) – 16x² + 8x – 1 < 0 

Tam thức bậc hai – 16x² + 8x – 1 < 0 có ∆ = 8² – 4 . (– 16) . (– 1) = 0 nên tam thức có nghiệm kép là x = $\frac{1}{4}$ và hệ số a = – 16 < 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức – 16x² + 8x – 1 mang dấu “–” là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{4}\right\}$. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 16x² + 8x – 1 là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{4}\right\}$. 

e) 2x² + x + 3 < 0

Tam thức bậc hai 2x² + x + 3 có ∆ = 1² – 4 . 2 . 3 = – 23 < 0 và hệ số a = 2 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy 2x² + x + 3 > 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$. 

Vậy bất phương trình 2x² + x + 3 < 0 vô nghiệm. 

g) – 3x² + 4x – 5 < 0

Tam thức bậc hai – 3x² + 4x – 5 có ∆ = 4² – 4 . (– 3) . (– 5) = – 44 < 0 và hệ số a = – 3. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy – 3x² + 4x – 5 < 0 (cùng dấu với a) với mọi $x\in ℝ$. 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 4x – 5 < 0 là $ℝ$.

Bài 8 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x+2}=x$

b) $\sqrt{2x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+x+6}$;

c) $\sqrt{2x^2+3x-1}=x+3$. 

Lời giải:

a) $\sqrt{x+2}=x$ (1)

Điều kiện: x ≥ 0

Bình phương hai vế của (1) ta được: x + 2 = x² 

⇔ x² – x – 2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$

Trong hai giá trị trên ta thấy x = 2 thỏa mãn x ≥ 0. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. 

b) $\sqrt{2x^2+3x-2}=\sqrt{x^2+x+6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: 2x² + 3x – 2 = x² + x + 6

⇔ 2x² – x² + 3x – x – 2 – 6 = 0 

⇔ x² + 2x – 8 = 0 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array}\right.$

Thử lại cả hai giá trị trên vào phương trình (2) ta thấy cả hai giá trị x = 2 và x = – 4 đều thỏa mãn. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 và x = – 4.

c) $\sqrt{2x^2+3x-1}=x+3$ (3)

Trước hết ta giải bất phương trình x + 3 > 0 ⇔ x > – 3. 

Bình phương hai vế của (3) ta được: 2x² + 3x – 1 = (x + 3)² 

⇔ 2x² + 3x – 1 = x² + 6x + 9 

⇔ 2x² – x² + 3x – 6x – 1 – 9 = 0 

⇔ x² – 3x – 10 = 0 

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=5\end{array}\right.$

Ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn x > – 3. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = – 2 và x = 5. 

Bài 9 trang 61 Toán lớp 10 Tập 1: Một kĩ sư thiết kế đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S và từ vị trí S đến vị trí C trên cù lao như Hình 38. Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S và từ S đến C lần lượt là 3 triệu đồng và 5 triệu đồng. Biết tổng số tiền công là 16 triệu đồng. Tính tổng số ki-lô-mét đường dây điện đã thiết kế.

Lời giải:

Gọi số ki-lô-mét đường dây điện từ vị trí A đến vị trí S là x (km) (x > 0). 

Khi đó trên hình vẽ ta có: SA = x km, AB = 4 km, BC = 1 km. 

Ta thấy AB = SA + SB, suy ra SB = AB – SA = 4 – x (km). (do SB > 0 nên 4 – x > 0 hay x < 4)

Lại có tam giác SBC vuông tại B nên theo định lý Pythagore ta có: 

SC² = BC² + BS² = 1² + (4 – x)² = 1 + 16 – 8x + x² = x² – 8x + 17 

Suy ra: SC = $\sqrt{x^2-8x+17}$ (km) 

Vì tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ A đến S là 3 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S là: 3x (triệu đồng).

Tiền công thiết kế mỗi ki-lô-mét đường dây từ S đến C là 5 triệu đồng nên số tiền để thiết kế toàn bộ đường dây từ S đến C là: $5\sqrt{x^2-8x+17}$ (triệu đồng). 

Tổng số tiền công thiết kế toàn bộ đường dây từ A đến S và từ S đến C là 16 triệu đồng nên ta có phương trình: $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$. 

Ta cần giải phương trình $3x+5\sqrt{x^2-8x+17}=16$ (1). 

Ta có (1) $\iff 5\sqrt{x^2-8x+17}=16-3x$ (2).

Trước hết ta giải bất phương trình: 16 – 3x > 0 ⇔ x < $\frac{16}{3}$;. 

Mà 0 < x < 4 nên điều kiện của phương trình (1) là 0 < x < 4. 

Bình phương hai vế của (2) ta được: 25.(x² – 8x + 17) = (16 – 3x)²

⇔ 25x² – 200x + 425 = 256 – 96x + 9x²

⇔ 16x² – 104x + 169 = 0

⇔ x = 3,25 (thỏa mãn điều kiện). 

Do đó số ki-lô-mét đường dây từ vị trí A đến S là 3,25 km. 

Số ki-lô-mét đường dây từ vị trí S đến C là: $\sqrt{x^2-8x+17}=\sqrt{{\left(3,25\right)}^2-8.3,25+17}=1,25$ (km).

Vậy tổng số ki-lô-mét đường dây đã thiết kế là 3,25 + 1,25 = 4,5 (km). 

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 3 hay khác:

• Giải Toán 10 trang 60 Tập 1

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác

• Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• Bài 3: Khái niệm vectơ

• Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---