Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Trang trước Trang sau

Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

a) Vì BC ⊥ AH tại H nên BC là tiếp tuyến với đường tròn (A; AH) tại H.

Mà BD là tiếp tuyến của (A; AH) nên AB là đường phân giác của góc DAH, hay $\hat{D A H} = 2 \hat{B A H}$

Tương tự với BC và CE, ta có $\hat{H A E} = 2 \hat{H A C}$

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\hat{B A H} + \hat{H A C} = \hat{B A C} = 90 °$

Do đó: $\hat{D A H} + \hat{H A E} = 2 \hat{B A H} + 2 \hat{H A C}$

$= 2 (\hat{B A H} + \hat{H A C}) = 2.90 ° = 180 °$

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Mà D và E đều nằm trên (A; AH) nên DE là đường kính của (A; AH) hay D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)

b) Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác vuông ABC, ta thấy AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.

Do đó đường tròn đường kính BC là đường tròn (O; OA).

Xét ∆ABC và ∆HBA có:

$\hat{A B C} = \hat{H B A}$ (góc chung)

$\hat{B A C} = \hat{A H B} = 90 °$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)

Tương tự, ta có ∆ABC ᔕ ∆HAC, suy ra ∆HBA ᔕ ∆HAC.

Xét ∆HAC và ∆EAC có:

Chung cạnh AC

$\hat{A H C} = \hat{A E C} = 90 °$

AH = AE (bán kính đường tròn (A; AH))

Suy ra ∆HAC = ∆EAC (c.g.c).

Do đó ∆HBA ᔕ ∆EAC, suy ra $\hat{H B A} = \hat{E A C}$ hay ${\hat{B}}_{1} = {\hat{A}}_{2}$ . (1)

Do OA = OC nên tam giác OAC cân tại A, suy ra $\hat{O C A} = \hat{O A C}$ hay ${\hat{C}}_{1} = {\hat{A}}_{1}$ . (2)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên ${\hat{A}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = {\hat{B}}_{1} + {\hat{C}}_{1} = 90 °$

Suy ra $\hat{O A E} = 90 °$ hay OA ⊥ AE.

Do đó DE tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác