Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 65 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MDCN là hình thoi;

b) Tam giác EMC là tam giác cân;

c) $\hat{B A D} = 2 \hat{A E M}$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của AD

a) Ta có: MF ⊥ CE, AB ⊥ CE, suy ra MN // AB // CD.

Xét tứ giác MDCN ta có: MD // CN (do AD // BC; M ∈AD, N ∈ BC) và MN // CD (chứng minh trên).

Do đó tứ giác MDCN là hình bình hành.

Mặt khác M là trung điểm của AD nên $M D = \frac{1}{2} A D$ .

Lại có AD = 2AB mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên $C D = A B = \frac{1}{2} A D$ .

Do đó MD = CD.

Suy ra hình bình hành MDCN là hình thoi.

b) Xét tứ giác ADCE ta có AE // CD (theo câu a).

Do đó, tứ giác ADCE là hình thang với hai đáy AE và CD.

Xét hình thang ADCE có:

M là trung điểm AD (giả thiết);

AE // MF // CD (theo câu a).

Theo chứng minh ở Bài 5, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: F là trung điểm của CE.

Xét ∆EMC có MF là đường trung tuyến ứng với cạnh CE và MF ⊥ CE (giả thiết).

Do đó ∆EMC cân tại M.

c) Tứ giác MDCN là hình thoi nên $\hat{N M D} = 2 \hat{N M C}$ (tính chất đường chéo của hình thoi).

Mà ∆EMC cân tại M nên $\hat{E M F} = \hat{C M F}$ .

Ta có $\hat{B A D} = \hat{N M D} = 2 \hat{N M C} = 2 \hat{E M F}$ . (1)

Lại có $\hat{A E M} = \hat{E M F}$ (hai góc so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B A D} = 2 \hat{A E M}$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành – Hình thoi hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác