Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi I là trung điểm của AB

Bài 18 trang 74 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AIKD và BIKC là hình vuông.

b) $I K = \frac{D C}{2}$ và $\hat{D I C} = 90 °$ .

Lời giải:

a) VìI là trung điểm của AB nên $I A = I B = \frac{1}{2} A B$ (1)

Vì K là trung điểm của CD nên $K D = K C = \frac{1}{2} C D$ (2)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $I A = I B = K C = K D (= \frac{1}{2} A B)$ .

Ta có AB = 2BC,

suy ra $B C = \frac{1}{2} A B$ , suy ra $I A = I B = K C = K D = B C = A D (= \frac{1}{2} A B)$ .

Xét tứ giác AIKD có: AI // DK (vì ABCD là hình chữ nhật); AI = DK (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AIKD là hình bình hành.

Ta lại có AI = AD nên AIKD là hình thoi.

Mà $\hat{A} = 90 °$ nên AIKD là hình vuông.

Tương tự, tứ giác BIKC có: BI // CKvà BI = CKnên BIKC là hình bình hành.

Lại có BI = BC nên BIKC là hình thoi.

Mà $\hat{B} = 90 °$ nên BIKC là hình vuông.

b) Vì AIKD là hình vuông nên $I K = A D = B C = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D$ .

Suy ra $I K = \frac{1}{2} C D$ .

Vì AIKD là hình vuông nên ID là đường phân giác của $\hat{A I K}$ .

Suy ra $\hat{D I K} = \hat{\frac{A I K}{2}} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Vì BIKC là hình vuông nên IC là đường phân giác của $\hat{B I K}$ .

Suy ra $\hat{C I K} = \frac{\hat{B I K}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Do đó $\hat{D I C} = \hat{D I K} + \hat{C I K} = 45 ° + 45 ° = 90 °$ .

Vậy $\hat{D I C} = 90 °$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 3 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Chân trời sáng tạo khác