Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A

Trang trước Trang sau

Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến đường thẳng B'C'.

b) Giữa hai đường thẳng BC và AB'.

Lời giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A

a) Hạ AH $⊥$ B'C' tại H. Khi đó d(A, B'C') = AH.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, do đó AA' = BB' = CC' = a, AB = A'B' = a; AC = A'C' = a, BC = B'C'.

Xét tam giác ABB' vuông tại B, có AB' = $\sqrt{A B^{2} + B {B^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác ACA' vuông tại A, có A'C = $\sqrt{A {A^{'}}^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Suy ra AC' = a $\sqrt{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại A, có BC = $\sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Suy ra B'C' = a $\sqrt{2}$ .

Do đó AB' = AC' = B'C' = a $\sqrt{2}$ . Suy ra tam giác AB'C' đều.

Xét tam giác AB'C' đều có AH là đường cao nên AH = $\frac{A B^{'} \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Vậy d(A, B'C') = $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

b) Do BCC'B' là hình chữ nhật nên BC // B'C'.

Suy ra BC // (AB'C') nên d(BC, AB') = d(BC, (AB'C')) = d(C, (AB'C')).

Do ACC'A' là hình chữ nhật nên CA' cắt AC' tại trung điểm của CA' do đó

d(C, (AB'C')) = d(A', (AB'C')).

Đặt d(A', (AB'C')) = h. Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A^{'} {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{A^{'} {C^{'}}^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{a^{2}}$ $\Rightarrow h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy d(BC, AB') = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác