Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = acăn2

Trang trước Trang sau

Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a $\sqrt{2}$ , AA' = a $\sqrt{3}$ . Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDD'B').

b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Lời giải:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = acăn2

a) Kẻ AH $⊥$ BD tại H.

Do D'D $⊥$ (ABCD) nên D'D $⊥$ AH mà AH $⊥$ BD, suy ra AH $⊥$ (BDD'B').

Suy ra d(A, (BDD'B')) = AH.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{2 a^{2}}$

$\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ . Vậy d(A, (BDD'B')) = $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

b) Có BC // A'D' và BC = A'D' (do BC, A'D' cùng song song và bằng AD).

Do đó BCD'A' là hình bình hành, suy ra CD' // BA', suy ra CD' // (A'BD).

Ta có CD' // (A'BD) nên d(BD, CD') = d(CD', (A'BD)) = d(C, (A'BD)).

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của AC nên

d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD)).

Kẻ AK $⊥$ A'H tại K.

Vì AA' $⊥$ (ABCD) nên A'A $⊥$ BD mà AH $⊥$ BD nên BD $⊥$ (A'AH), suy ra BD $⊥$ AK.

Vì BD $⊥$ AK và AK $⊥$ A'H nên AK $⊥$ (A'BD). Suy ra d(A, (A'BD)) = AK.

Vì AA' $⊥$ (ABCD) nên AA' $⊥$ AH.

Xét tam giác A'AH vuông tại A, có $\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{A {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{9}{6 a^{2}} = \frac{11}{6 a^{2}}$

$\Rightarrow A K = \frac{a \sqrt{66}}{11}$ . Vậy d(BD, CD') = $\frac{a \sqrt{66}}{11}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác