Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

Trang trước Trang sau

Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng SO $⊥$ (ABCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và $α$ là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sin $α$ .

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

a) Có O là trung điểm của AC, BD.

Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $⊥$ AC.

Tương tự SO $⊥$ BD. Do đó SO $⊥$ (ABCD).

b) Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ AO.

Lại có AO $⊥$ BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO $⊥$ (SBD).

Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

Mà (SA,SO) = $\hat{A S O}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Có SA²+ SC² = a² + a² = 2a², suy ra AC² = SA²+ SC². Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó $\hat{A S O}$ = 45^o .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

c) Kẻ OK $⊥$ BC tại K, OH $⊥$ SK tại H.

Có BC $⊥$ OK (cách vẽ), BC $⊥$ SO (SO $⊥$ (ABCD)). Do đó BC $⊥$ (SOK), suy ra BC $⊥$ OH mà OH $⊥$ SK nên OH $⊥$ (SBC).

Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = $\hat{O M H} = α$ .

Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = $\frac{S C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại S, có $\frac{1}{S O^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{S C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOK vuông tại O, có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O K^{2}} = \frac{4}{2 a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{6}$ .

Xét tam giác OHM vuông tại H, có sin $α$ = sin $\hat{O M H} = \frac{O H}{O M} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Vậy sin $α$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác