Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trang 17 SBT Toán 11

Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = $2 \sqrt{\sin x}$ + 1;

c) y = 3 cos² x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ $\sqrt{\sin x}$ ≤ 1 nên 0 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos² x + 4 cos2x $= 3. \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 4 \cos 2 x$ $= \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \cos 2 x$ .

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên $- \frac{11}{2} \leq \frac{11}{2} \cos 2 x \leq \frac{11}{2}$ ,

do đó $- 4 = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2} \cos 2 x \leq \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = 7$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = $\frac{π}{2}$ + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = $\sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (x + \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ , với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x + \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ hay $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x + \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ hay $x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác