Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng B'AC

Trang trước Trang sau

Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B'AC) tạo với đáy một góc 30°, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D'AC) bằng $\frac{a}{2}$ . Tính thể tích khối tứ diện ACB'D'.

Lời giải:

Gọi O = AC $\cap$ BD. Ta có:

Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a Mặt phẳng B'AC

Khi đó:

$B O ⊥ A C, B' O ⊥ A C, (A B C D) \cap (B' A C) = A C,$

$\Rightarrow ((B' A C), (A B C D)) = (B O, O B') = \hat{B' O B} = 30 ° .$

Dễ thấy $d (B, (D' A C)) = d (D, (D' A C)) = \frac{a}{2}$ .

$A C ⊥ (B B' D' D) \Rightarrow (D' A C) ⊥ (B B' D' D)$

$(D' A C) \cap (B B' D' D) = D' O .$

Từ D kẻ DH ⊥ D'O (H ϵ DO), suy ra $d (D, (D' A C)) = D H = \frac{a}{2} .$

Xét ∆B'BO: $\tan 30 ° = \frac{B B'}{B O} \Rightarrow O D = B O = \sqrt{3} B B' .$

Xét ∆D'DO: $\frac{1}{H D^{2}} = \frac{1}{O D^{2}} + \frac{1}{D' D^{2}} \Rightarrow \frac{4}{a^{2}} = \frac{1}{3. B' B^{2}} + \frac{1}{D' D^{2}}$

$\Rightarrow D D' = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow O B = a .$

Gọi I = BD $\cap$ B'O, suy ra $\frac{B I}{D' I} = \frac{1}{2} .$

$\Rightarrow d (D', (B' A C)) = 2 d (B, (B' A C)) \Rightarrow V_{A C B' D'} = 2 V_{B' A B C} .$

Mà $O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} .$

$\Rightarrow S_{A B C} = 2 S_{A B O} = 2. \frac{1}{2} . O B . O A = a^{2} \sqrt{3} .$

Suy ra $V_{B' . A B C} = \frac{1}{3} . B B' . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{\sqrt{3}} . a^{2} \sqrt{3} = \frac{a^{3}}{3} .$

Vậy $V_{A C B' D'} = \frac{2 a^{3}}{3} .$

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác