Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

Bài 7 trang 61 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u_n), biết:

a) $\{\begin{cases} u_{1} + u_{6} = 18 \\ u_{3} + u_{7} = 22; \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} u_{9} - u_{4} = 15 \\ u_{3} \cdot u_{8} = 184; \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} u_{6} = 8 \\ u_{2}^{2} + u_{4}^{2} = 16. \end{cases}$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số cộng là u₁ và công sai là d.

a) $\{\begin{cases} u_{1} + u_{6} = 18 \\ u_{3} + u_{7} = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + u_{1} + 5 d = 18 \\ u_{1} + 2 d + u_{1} + 6 d = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 u_{1} + 5 d = 18 \\ 2 u_{1} + 8 d = 22 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = \frac{17}{3} \\ d = \frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy $u_{1} = \frac{17}{3}$ và $d = \frac{4}{3} .$

b) $\{\begin{cases} u_{9} - u_{4} = 15 \\ u_{3} \cdot u_{8} = 184 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 8 d - (u_{1} + 3 d) = 15 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 d = 15 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 3 \\ (u_{1} + 2 d) (u_{1} + 7 d) = 184 \end{cases}$

Với d = 3 ta có: (u₁ + 2.3)(u₁ + 7.3) = 184

$\Leftrightarrow u_{1}^{2} + 27 u_{1} - 58 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} u_{1} = 2 \\ u_{1} = - 29 \end{array}$

Vậy $\{\begin{cases} d = 3 \\ u_{1} = 2 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} d = 3 \\ u_{1} = - 29 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} u_{6} = 8 \\ u_{2}^{2} + u_{4}^{2} = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} + 5 d = 8 \\ {(u_{1} + d)}^{2} + {(u_{1} + 3 d)}^{2} = 16 (*) \end{cases}$

Từ u₁ + 5d = 8 suy ra u₁ = 8 ‒ 5d, thay vào biểu thức (*) ta có:

(8 ‒ 5d + d)² + (8 ‒ 5d + 3d)² = 16

⇔ (8 ‒ 4d)² + (8 ‒ 2d)² = 16

⇔ (64 – 64d + 16d²) + (64 – 32d + 4d²) = 16

⇔ 20d² – 96d + 112 = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} d = 2 \\ d = \frac{14}{5} \end{array}$

Với d = 2 thì u₁ = 8 ‒ 5.2 = ‒2

Với $d = \frac{14}{5}$ thì $u_{1} = 8 - 5 \cdot \frac{14}{5} = - 6$

Vậy $\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ d = 2 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} u_{1} = - 6 \\ d = \frac{14}{5} . \end{cases}$

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác