Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un)

Trang trước Trang sau

Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) với $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} .$

Lời giải:

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}; u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$

Suy ra $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Ta có: $u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}}$ , suy ra u_n > 1 ∀n ∈ N*. (1)

Hơn nữa:
$u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n}, \forall n \in ℕ * .$

Ta có: $1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n - 1) n}$

$= 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$

$= 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$= 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

Do đó $u_{n} < 2 - \frac{1}{n},$ nên u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*. (2)

Từ (1) và (2) ta có 1 < u_n < 2, ∀n ∈ ℕ*.

Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác