Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau:

a) un=2n−133n−2;

b) un=n2+3n+1n+1;

c) un=11+n+n2.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (un) là un=2n−133n−2 nên un+1=2n+1−133n+1−2=2n−113n+1

Xét un+1−un=2n−113n+1−2n−133n−2

=2n−113n−2−2n−133n+13n+13n−2

=6n2−37n+22−6n2−37n−133n+13n−2

=353n+13n−2>0,∀n∈ℕ*.

Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: un=2n−133n−2=233n−2−3533n−2=23−3533n−2

⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1⇒3533n−2≤353⇒23−3533n−2≥23−353=−11

⦁ Do n≥1⇒3n−2≥1>0⇒3533n−2>0⇒23−3533n−2<23

Suy ra −11≤un<23,∀n∈ℕ*, suy ra (un) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (un) là un=n2+3n+1n+1

Nên un+1=n+12+3n+1+1n+1+1=n2+5n+5n+2

 un+1−un=n2+5n+5n+2−n2+3n+1n+1

 =n2+5n+5n+1−n2+3n+1n+2n+1n+2

 =n3+n2+5n2+5n+5n+5−n3+2n2+3n2+6n+n+2n+1n+2

 =n2+3n+3n+1n+2>0,∀n∈ℕ*

Suy ra un+1 > un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có un>n2+2n+1n+1=n+1≥2,∀n∈ℕ*. Suy ra (un) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (un) là un=11+n+n2

Nên un+1=11+n+1+n+12=1n2+3n+3

Ta có un > 0, ∀n ∈ ℕ* nên un+1un=1n2+3n+31n2+n+1=n2+n+1n2+3n+3<1,∀n∈ℕ*. 

Suy ra un+1 < un, ∀n ∈ ℕ*. Suy ra (un) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có n≥1;  n2≥1  ⇒1+n+n2≥3⇒11+n+n2≤13 0<un≤13,∀n∈ℕ*. Suy ra (un) là dãy số bị chặn.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau
Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác